概率方法（共12篇）
概率方法 篇1
概率是反映事件发生的可能性大小的量, 概率计算是概率学习中的难点, 如何突破这个难点, 给同学们介绍几种方法:
一、求一个事件发生的概率, 首先要认清事件是必然事件、不可能事件、不确定事件中的哪一类型
例1 求下列各事件的概率。
(1) 任意画一个三角形, 其内角和是180°;
(2) 一个盒子中装有4个白球, 从中任取1个为红球。
分析: (1) 题中既然是一个三角形, 那么其内角和肯定为180°, 即该事件是必然事件;
(2) 盒子中全是白球, 那么从中取出一个红球是不可能发生的。即为不可能事件。
解: (1) 任意画一个三角形, 内角和为180°的事件是必然事件, 其概率为1;
(2) 一个盒子中装有4个白球, 从中任取1个为红球的事件为不可能事件, 其概率为0.
二、对于一个不确定事件的概率计算, 则应先选择合适的方法
1.用比值求概率。
先将一切可能发生的情况数求出设m, 再将该事件A发生的情况数求出设为n, 那undefined就为该事件A的概率。
例2 求下列各事件的概率。
(1) 有3张卡片, 分别写有1、2、4, 将它们背面朝上洗匀后, 任意抽出一张, 抽出的数字为偶数;
(2) 冰柜里装有四种饮料, 5瓶特种可乐, 12瓶普通可乐, 9瓶橘子水, 6瓶啤酒。其中特种可乐和普通可乐, 是含有咖啡因的饮料, 那么从冰柜中随机取一瓶饮料, 该饮料含有咖啡因;
(3) 一个盒子里有4个除颜色其余都相同的玻璃球, 1个红色, 1个绿色, 2个白色, 随机从盒子里一次取出两个球, 两个球都是白球。
分析: (1) 题中卡片有3张, 即一切能够发生的情况数为3, 抽出数字为偶数的数为2、4, 情况数为2, 则其该事件概率为undefined
(2) 题中饮料总瓶数为32瓶, 即一切可能发生的情况数为32, 取得含有咖啡因饮料的情况数为17, 则其概率为undefined
(3) 题中要求一次从盒中取2个球, 即一切可能出现的情况为:①②;①③;①④;②③;②④;③④共6种。 (①红②绿③白④白, 圆圈中数字为该球的编号)
其中两球都是白球发生的情况数为1 (即③④) .
则该事件发生的概率为undefined
(3) 中求一切能够出现的情况数可类似数线段的方法, 将每个球看作一个点, 则可利用公式undefined来计算总可能情况数。如题中球有4个, 则undefined.所以一切能够出现的情况数为6.
2.用面积求。
先将所有可能的面积设为S, 再将事件A发生的所有可能的面积求出设为m, 那么undefined就为该事件A的概率。
例3:如图, 转盘指针向黄色或黑色的概率是多少? (图中圆被八等分) 。
分析:题中圆面积被八等分, 则所有可能的面积为8, 其中事件发生的所有可能面积为5 (图中黄与黑共占5份) , 所以其概率为undefined
此题中出现概率的加法, 即若该事件A是由事件B、事件C组成的。
那么:P (A) =P (B) +P (C) .
如题中指向黄色或黑色这个事件是由指由黄色和指向黑色组成的, 其概率可由指向黄色的概率为undefined与指向黑色的概率为undefined, 求和得undefined
三、练习
1. (2006, 河北) 有四张不透明的卡片为:2、-14、undefined, 除正面的数不同外, 其余都相同。将它们背面朝上洗匀后, 从中随机抽取一张卡片, 抽到正数的概率是多少?
2. (2006, 湖州) 在拼图游戏中, 从图1的四张纸片中任取两张纸片, 能拼成“小房子” (如图2) 的概率为多少?
3.如图3所示是可以自由转动的转盘, 转盘停止后, 指针指向红色或黄色区域的概率为多少?
答案:
1.抽到正数的概率为undefined;
2.能拼成“小房子”的概率为undefined;
3.指针指向红色或黄色区域的概率为undefined
概率方法 篇2
利用概率方法巧妙证明不等式
作者：成春华
来源：《考试周刊》2013年第64期
摘 要： 本文利用概率方法的简单性质证明某些不等式，旨在把概率知识与其他数学分支联系起来，从而拓宽解题思路，提高创新思维能力，显示出概率方法在应用上的广泛性和优越性，体现出数学的统一性.关键词： 不等式 概率方法 概率模型
概率论是研究随机现象规律的数学分支，它有自己独特的概念、定理、性质、公式和结论，形成一套完整的数学体系.一般将用概率论的相关知识解决问题的方法统称为概率方法.无论在初等数学还是在高等数学中，不等式的证明始终是难点.如果考虑将一些不等式，特别是那些变量在0和1之间取值的不等式，可以将这些变量建模成某些事件的概率，这样就可以把不等式问题转化成概率问题.用概率论方法来证明一些不等式，不但可以简化证明，而且可以将概率知识与其他数学分支联系起来，从而拓宽解题思路，提高创新思维能力.本文主要利用事件发生的概率取值范围，互斥事件与独立事件同时发生的概率性质，以及概率公式等概率论中最基础最基本的知识，为不等式的证明提供一种新的思路.这些最基础的知识在证明某些不等式时能发挥不同寻常的作用，使得证明思路自然，运算简单，不需再为不等式如何变形而冥思苦想、绞尽脑汁.下面举例说明概率论方法在一些不等式中的应用，为证明不等式提供一种新的思路.参考文献：
浅探工科概率统计教学方法 篇3
关键词：数据 信息 概率统计
中图分类号：O21 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）11（a）-0101-01
传统的概率统计的教学方法，学生感觉概念枯燥，在日后工作中没有应用价值。所以没有学习激情，以至于存在被动的学习氛围，老师很卖力地讲授，学生死记硬背，产生的学习效果不佳。但是，就概率统计应用几乎遍及所有的科学领域，例如工业产品抽样调查、科学实验、生物医学等领域都有广泛应用。基于上述原因，改进概率统计的传统教学方法势在必行。
1 增强学生的学习激情
在当今大学生普遍使用计算机和计算机技术普及的前提下，引入信息概念是很有必要的。信息是建立在数据的基础之上，信息是对数据的解释，当数据通过某种处理，并经过人的进一步解释后就得到了信息。信息反映了事物的客观规律，信息来源于数据，信息是数据的灵魂，数据是信息的载体。
概率统计就是通过数据处理而得到信息的一种方法。如判断某种钢材是否合格，首先设计采集数据和方法，可以采集其几何尺寸及其误差、各种金属元素含量、批量大小、抽检数量和筹建频率，根据设计的方案随着生产进行数据采集，然后利用概率统计的方法确定函数关系，并进行计算，所得结果和合格标准对照，得出该批量钢材是否合格，其合格与否就是信息。传递到质监部门就可以对该批次钢材进行合格出厂与否判断。不合格要进行分析，做出处理，还要对不合格原因进行数据采集，进一步分析原因出处，如何改进，形成下一个信息，传递到决策层和管理层改进生产工艺或对生产设备进行调整或对操作人员进行培训。这样，利用学生熟悉的知识，和实际应用的例子，使学生感觉到其要学的知识并不难，而且在实际工作中应用面很广，利用价值很高，这样就极大地激发了学生的学习激情。
2 以数据与信息为主线，贯穿于整个概率统计的教学中
对于数据的采集和将数据处理为代表事物的客观规律的信息，使信息提供给决策层进行战略决策；提供给管理层进行管理反馈，进行管理改进，如ISO9000标准的质量管理的持续改进，没有最好，只有更好；提供给作业层，进行作业优化，降低成本，提高质量。要将信息的作用讲授好，是调动学生学习积极性的关键。
在讲授课程的同时，要结合一定的社会关注的热点议题或所学专业知识为例的例题进行讲解，如住房问题，首先设计采集数据和方法、采集样本、并按照习惯进行得分配置，房地产名称、位置、均价、物业及物业费、户型、配套设施、建筑质量、绿化率、车库及车位、贷款额度及利率、房地产开发商信誉等，按照设计好的采集数据和方法、采集样本，通过网站、房展会资料、各种渠道的资料和实地调查，取得所要求的数据，通过一定规律进行列表记录。然后就关心的几个随机事件，进行综合分析，利用概率和数理统计的方法建立函数关系（数学模型），通过计算得出各个房地产的综合得分，也就是将数据处理为信息，并按信息进行排列。该信息就可以提供给需要购房人，以作为其购房者的重要参考依据。为计算简便，可以将函数关系设计一个计算机程序，只要输入数据，就轻松地得到信息，更便于计算。总之，将数据利用概率统计学的知识转化为信息，而信息又可以应用到各个领域的理念贯穿于整个教学过程中，以增加学生的感性认识，提高学生的学习欲望，使其学习的主观能动性发挥到极致。
3 由浅入深进行教学，易于学生理解
由浅入深进行讲授，可以淡化学生学习本门课程的畏惧感，易于学生理解。首先讲授学生直观可以理解的概念，再一步一步地进行深入，讲授其他概念。在进一步深化教学的过程中，再配以易懂的例题说明就更容易理解概念了。比如，先讲授确定性现象，引入随机现象、随机试验，通过随机试验取得试验数据，顺其自然就可以引入随机事件、频率和统计概率。其中随机事件和频率为数据，而统计概率为信息。要让学生明白不同概率定义的优略，如统计概率有两大缺点：一是需要大量的重复试验；二是得到的是概率的近似值，这样不但浪费人力、物力，而且得到的信息也不理想。针对以上缺陷引入概率的古典定义就变的容易理解了，概率古典定义具有可计算性的优点，同时也暴露了明显的局限性，要求样本点有限。为解决概率古典定义的局限性，就可以引入几何方法、概率的公理化体系等。这就可以使学生顺着由简单到复杂的思路进行学习，同时也感觉不到本门课程的枯燥无味，也没有学习上的畏惧感，可以以轻松的身心和宽松的学习环境进行愉快的学习。
4 精选例题，吸引学生的眼球
在课程的讲授过程中，要精选例题，最好是采用与所学专业有关的、被社会所关注的、简单明了的、学生感兴趣的例题来吸引学生的眼球。如甲、乙两个赌徒进行赌博，在同一个赌场，由同一个工作人员进行掷骰子，单双押注，赌注翻倍增加，最后谁赢，由于概率相同，谁的赌资多谁赢的例题要比同条件掷一枚均匀硬币观察正反面出现的情况的例题要吸引学生的眼球。再如某一长距离地下输送低压气体管道发生微小泄露，地面以上不易发现，只有运行仪表可以显示。但寻找泄漏点是一件比较麻烦的事情，不能遍地开花的挖地进行寻找，这就需要利用概率的知识来寻找泄漏点的简便办法了。首先对于管道受力情况进行分析，列出采集数据、采集方法和样本，然后进行数据采集，列出函数关系进行计算，得出所需信息。按发生泄露的概率大小进行排列出管道具体部位，由发生泄露概率大的部位开始进行寻找，直至找到泄漏点并且修补完成为止，这样不仅节省了修复投入的人力和物力资源，也减少了对地上建筑物的破坏和修复工作。这就说明概率的知识在实际工作的应用，体现出知识的价值，充分说明了知识就是生产力的真理。
5 让学生积极参与，增强学习氛围
在讲授完一部分内容后，要求学生根据自身的知识水平再结合所学内容编制习题和解题方法，根据学生完成的情况，教师可选出几个有代表性的例题，让学生上台对自己的作业进行讲解，这样可以活跃课堂的学习氛围，增加学习气氛，开拓学生思维，扩展学生视野。增加学生的竞争意识，提高学生提出问题和解决问题的能力。
总之，经过对概率统计传统教学方式的改进，必然会增强学生的学习欲望，提高学生提出问题和解决问题的能力，使学生明显感觉到理论和实际相结合的重要，使学生感觉到所学知识可以在今后的工作中得到广泛应用。完全有理由可以使学生的学习主观能动性发挥到极致。
参考文献
[1] 张英琴．对工科概率统计课程教学的几点建议[J]．科教文汇，2010（11）．
“认识概率”中的数学思想方法 篇4
一、枚举思想
枚举思想是解决概率问题的一个重要思想方法,一些简单的问题,通过枚举法即可获解.
例1 (2014·金华)一个布袋里面装有5个球,其中3个红球,2个白球,每个球除颜色外其他完全相同,从中任意摸出一个球,是红球的概率是( ).
A.1/6B.1/5C.2/5D.3/5
【分析】首先根据题意利用枚举法可得,摸出的球可能是红1,红2,红3,白1,白2,共五种情况,所以是红球的概率为3/5.
【答案】选D.
【点评】本题中“袋中的五个球”被抽到的可能性相等,且该实验出现的结果为有限多个,从而应用“枚举思想”解决了本题.这两个特点也正是能运用枚举法求解的两个基本特征. 另外,本题还巩固了简单概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=m/n.
二、方程思想
方程思想是指解决数学问题时,先分析问题中的等量关系,设出未知数,建立方程或方程组,然后求解方程(组),使原问题获解.这一思想方法,在概率解题中应用广泛.
例2 (2014·泰州)某篮球运动员去年共参加40场比赛,其中3分球的命中率为0.25,平均每场有12次3分球未投中.
(1)该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球?
(2)在其中的一场比赛中,该运动员3分球共出手20次,小亮说,该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球,你认为小亮的说法正确吗?请说明理由.
【分析】(1)设该运动员共出手x个3分球,则3分球命中0.25x个,未投中0.75x个,根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛,平均每场有12次3分球未投中”列出方程,解方程即可;
(2)根据概率的意义知某事件发生的概率,就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值,由此加以理解即可.
解:(1)设该运动员共出手x个3分球,根据题意,得0.75x/40=12,解得x=640,
0.25x=0.25×640=160(个).
答:该运动员去年的比赛中共投中160个3分球.
(2)小亮的说法不正确.
3分球的命中率为0.25,是相对于40场比赛来说的,而在其中的一场比赛中,虽然该运动员3分球共出手20次,但是该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球.
【点评】此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义. 解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程及正确理解概率的含义.
三、函数思想
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.
例3 (改编)已知一纸箱中装有5个只有颜色不同的球,其中2个白球,3个红球.
(1)求从箱中随机取出一个白球的概率是多少?
(2)若往装有5个球的原纸箱中,再放入x个白球和y个红球,从箱中随机取出一个白球的概率是1/3,求y与x的函数解析式.
【分析】(1)从装有5个只有颜色不同的球的纸箱中摸出一个球,共有3+2=5(种)不同的结果,其中摸到白球的结果有2个,所以取出一个白球的概率是2/5;
(2)往装有5个球的原纸箱中,再放入x个白球和y个红球后,箱中共有球5+x+y(个),其中白球2+x(个),根据取出一个白球的概率是1/3列出关于x、y的方程,然后用含x的代数式表示y,即可得到y与x的函数解析式.
解:(1)取出一个白球的概率
(2)∵取出一个白球的概率
【点评】函数思想是一种重要的数学思想方法. 函数思想的实质是用联系和变化的观点研究数学对象,并抽象其数量特征,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决. 这种思想方法的特点在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量进行动态研究.
四、数形结合思想
数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”“数”和“形”之间有着密切的联系,在一定条件下,可以相互转化,相互渗透. 根据研究问题的需要,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,进而探求问题的解答的思想方法即数形结合的思想方法. 本章中,利用表格、频率分布折线图、图形面积等探求概率的过程,便体现了“数形结合的思想方法”.
例4 (2014·邵阳)有一个能自由转动的转盘如图1,盘面被分成8个大小与形状都相同的扇形,颜色分为黑白两种,将指针的位置固定,让转盘自由转动,当它停止后,指针指向白色扇形的概率是______.
【分析】只要先弄清黑色区域面积和整个图形的面积关系即可.
【解答】根据题意,这个转盘是将“圆平均分成了8份”而制得,所以圆分得的8块图形的面积相等,故黑色区域的面积是整个图形面积的一半.所以,转盘指向白色区域的可能性为1/2.
【点评】本题借助图形面积使问题获解,体现了数形结合的思想,同时本题解答时也渗透了“整体的数学思想”.
五、分类讨论思想
在解决一些稍复杂的概率问题时,如问题中含有多种可能的情况,往往需要考虑各种情况对应的结果数,这就需要进行分类讨论.
例5 (改编)已知关于x的不等式ax+3>0(其中a≠0).
(1)当a=-2时,求此不等式的解,并在数轴上表示此不等式的解集;
(2)小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片,上面分别写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1,将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上. 从中任意抽取一张,以卡片上的数作为不等式中的系数a,求使该不等式没有正整数解的概率.
【分析】(1)当a=-2时,不等式ax+3>0为-2x+3>0,解之得x<3/2;
(2)当a取-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1时分别计算ax+3>0的解集,只有当a=-1和a=-2时,不等式有正整数解,取其他值时,不等式没有正整数解,所以该不等式没有正整数解的概率是8/10=4/5.
解:(1)x<3/2,在数轴上正确表示此不等式的解集如图2所示.
(2)用列举法
取a=-1,不等式ax+3>0的解为x<3,不等式有正整数解.
取a=-2,不等式ax+3>0的解为x<3/2,不等式有正整数解.
取a=-3,不等式ax+3>0的解为x<1,不等式没有正整数解.
取a=-4,不等式ax+3>0的解为x<3/4,不等式没有正整数解.
……
∴整数a取 -3至 -10中任意一个整数时,不等式没有正整数解.
∴P(不等式没有正整数解)=8/10=4/5.
成人高考高等数学概率论复习方法 篇5
(1)概率论的基本理论涉及的知识范围广，联系现实生活紧密，特别是古典概型部分，以集合论、两个原理、排列与组合等知识为基础，所以学习概率之前要适当补习排列与组合知识。
(2)要理解随机现象、随机试验、随机事件等有关概念，理解并掌握事件的四大关系(包含关系、相关关系、互不相容关系、对立关系)和三大运算(事件的和、事件的积、事件的差)，会用正确的符号表示事件。
会概率的有关计算，突出古典概型的概率计算，会运用概率的加法公式，以及条件概率、事件的独立性、概率的乘法公式计算事件的概率。
概率方法 篇6
[关键词]可能性;概率;数学素养;方法
“可能性”这一教学内容在目前的小学数学教学中是一个全新的内容，属于“统计与概率”的知识范畴。概率问题已经渗透到社会的各个角落，而“可能性”又是学生掌握概率问题的必要基础。同时，现实生活中存在着的大量的随机现象，可以帮助学生更好地认识世界，做出决策。为此，20世纪80年代以来，把概率与统计的初步知识作为一种基本数学素养引入中小学课程体系，已经成为国际数学课程改革的一个趋势。
《数学课程标准》中有关可能性教学的课程目标：使学生经历运用数据描述信息作出推断的过程和培养统计观念;通过认识随机事件及其发生的概率，使学生认识到现实世界广泛存在的随机性，形成初步的随机观念，并能对现实世界中一些简单的随机现象做出解释，利用随机观念作出自己的决策。通过对课标的学习和对教材的研读，依据学生认知特点及认知能力，培养学生的数感、概率思想、数据分析观念、随机意识、推理能力等数学素养。
一、培养学生的数感
数感是主动地、自觉地理解和运用数的态度与意识，是人的一种基本的数学素养。它是建立在明确的数概念和有效计算等数学活动的基础上，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。《数学课程标准》明确提出要使学生“经历用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维”。小学阶段学生要学习整数、小数、分数、等数概念，将这些数学概念与它们所表示的实际含义建立起联系则是理解数的关键，也是建立数感的表现。在可能性教学中，需要对事件发生的可能性大小进行判断，能在具体的情境中把握数的相对大小关系，有利于加深学生对数的意义的理解，从而培养学生的数感。
如三年级下上第七单元《摸名片》，教材呈现的是8名小朋友在一起做摸名片游戏，提供了两组数学信息：一是8名小朋友中5人属虎，3人属牛;另一组是隐含的数学信息：8名小朋友中男女各4人。教材提出了两个问题：摸到什么属相的可能性大？摸出男生名片的可能性大，还是摸出女生名片的可能性大？主要教学判断可能性的大小，在学生初步猜测判断的基础上，进行实践操作，验证学生的猜测，理解数量相对较多的发生的可能性就比较大。学生在具体的情境中，把握了数的相对大小、多少的关系，对可能性大小做出合理的解释，进一步加深了对整数意义的理解，扩大了整数的应用范畴，有利于培养学生的数感。
二、渗透概率思想
《数学课程标准》明确指出：“在具体活动中，体验事件发生的确定性和不确定性”“通过具体的情境，感受事件发生的可能性是有大小的”“通过统计与概率的学习，帮助学生认识人、自然和社会，在面对大量数据和不确定情境时制定较为合理的决策，形成数学分析的意识，提高解决问题的能力。”在小学阶段教学“可能性”除了是为今后的进一步学习打下必要的基础外，更重要的是培养学生的概率思想，以便更好地处理学习和生活中的问题。教材对于可能性的编排中，对概率思想的培养有充分的关注。
如：三年级下册第七单元信息窗《可能性的大小》，教材在编排上选取了学生日常生活中经常见到的成人交际用的名片，通过做名片、摸名片的活动激发学生参与的积极性，引发对事件发生可能性大小的认识。特别在学生经历了猜想——实验验证——得出结论这一过程之后，更能丰富对等可能性的体验，学会用概率的思想去观察和分析社会生活中的事物，感受到数学源于生活且应用于生活，加强了数学与生活的联系。
三、培养数据分析观念
《数学课程标准》指出：“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息。”可能性知识较抽象，教学时要提供足够的学习素材，利用生动的素材让学生经历观察思考、自主探索的过程，通过对素材的分析培养学生数据分析观念。
如：三年级上册第七单元《摸名片——统计与可能性》，教材提供了小朋友摸名片的情境，借助课前教师布置的作业：“了解一下，你们组各种属相的人数，由小组长记录在表格中。”问题：“猜猜看，摸到什么属相的可能性大？为什么？”通过对数据的分析猜测“摸到属牛的可能性大，因为我们组属牛的多”。教材在编排过程中又引导学生摸一摸，并将摸到的结果记录，通过对具体数据的分析得出结果“哪种属相的名片数量多，摸到的可能性就大，反之，摸到的可能性就小。”
四、培养学生的随机意识
在小学阶段设置简单的“概率”内容，主要是为了培养学生的随机思想，让其学会用概率的眼光去观察大千世界，而不仅仅是以确定的、一成不变的思维方式去理解事物。所以概率教学的核心是培养学生的随机观念，主要包括两个方面：
1.体会随机事件的不确定性。在教学中，教师要让学生理解确定事件和不确定事件的基本概念，这样学生才能辨别一个事件是否是确定事件。如：二年级上册第八单元《统计与可能性》，情境图呈现的是小朋友挖沙、猜贝壳等信息，红点部分“能挖出什么来”就是引导学生初步体验有些事件发生是确定的，有些则是不确定的。再如“随意抛掷一枚硬币，落地后国徽朝上”这一事件，因在抛掷之前无法保证它是否一定发生，所以这一事件就是不确定事件，再如“摸彩中奖”“明天下雨”“小明今年考取大学”等大量生活中事件都是不确定事件。
2.理解大量重复实验时呈现出的一种规律性，也就是频率稳定于概率。如：在抛硬币的实验中，频率就是正面朝上的次数/实验总次数，它的结果是不确定的，因为每次做的情况不一样，所以频率是可以变化的。而概率则是一个确定的值，如果重复做实验后，人们就会发现每一次虽然无法确定，但是重复做实验中，它会呈现一种稳定性，也就是频率渐趋稳定于概率。
如：在三年级上册第七单元《可能性》第二个红点的教学中。
师：如果你从你们组40张名片中任意摸取一张，单从性别考虑，你摸到的男、女生名片的可能性会是怎样的？
生：我们组男女生人数相等，所以摸到男女生名片的可能性是相等的。
师：要想摸到男女生名片的可能性相等的话，应该怎么办？
生：拿走多的或补上少的。
师：要知猜想是否正确需要做什么？
生：实验验证。
然后师生完成实验过程，教师介绍科学家关于等可能性实验的情况，最后得出“实验次数越多，两个数量越接近”的结论。学生认识到这一点，才算对某一事件发生的概率有较为全面的理解，初步形成随机观念。
五、锻炼学生的推理能力
《数学课程标准》指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”可能性教学则结合具体实例，通过猜一猜、摸名片等动手操作活动，引导学生在活动中感悟、体会，加以归纳分析，作出判断和推理，在游戏过程中隐含着推理的要求。拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活中有“数学”，通过观察、猜测、分析、归纳、推理，培养了学生良好的推理能力。
如：三年级上册第七单元《摸名片——统计与可能性》，从教材中可以看出，学生在动手制作名片的同时，观察出属虎的同学多，属牛的同学少。在摸名片的时候，学生会结合摸出的结果分析：摸到属虎的次数多，摸到属牛的次数少。从而归纳推理出：因为属虎的同学多，所以摸到属虎的次数就多;属牛的同学少，所以摸到属牛的次数就少。在游戏中，学生边观察边思考，在潜意识里已经培养了推理能力，提高了学生的数学素养和逻辑思维能力。
复合事件概率求解的方法探讨 篇7
一、使用事件的运算律及概率的计算公式求解
为了求解复合事件的概率，我们可以首先研究随机事件间的关系，然后利用事件的运算律，使用概率的加法公式、乘法公式、条件概率公式和全概率公式等概率的计算公式去求解．
例1某人打靶，命中10环的概率为0.3，命中9环的概念为0.4，求最多命中8环的概率．
解设A={命中10环}，B={命中9环}，C={最多命中8环}，则{命中环数超过8环}={命中环数为9环或10环}=A+B，且A、B互不相容，于是
即最多命中8环的概率为0.3.
该题的求解利用了两事件互不相容的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)及对立事件的概念公式这里分析事件间的关系是关键．
例2某校对一年级学生上下两学期学习成绩的统计分析中发现:上下两学期均优的占学生总数的5%，仅上学期得优的占学生总数的7%，仅下学期得优的占学生总数的8%．求:(1)已知某学生上学期没得优，估计下学期得优的概率;(2)上下两学期均没得优的概率．
解设A={上学期成绩得优}，B={下学期成绩得优}，则
于是
即已知某学生上学期没得优，估计下学期得优的概率为0.094.
即上下两学期均没得优的概率为0.94.
该题的求解利用了事件的运算律:互不相容，这是解题的突破口．同时使用了概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B A)=P(B)P(A B)，条件概率公式再次用到两事件互不相容的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)及对立事件的概念公式
二、利用事件的独立性求解
对于事件A与B，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立．
事件的独立性有如下性质:1．必然事件及不可能事件与任何事件独立;2．若事件A与事件B相互独立，则中的各对事件也相互独立;3．当P(A)>0,P(B)>0时，下面四个结论是等价的:事件A与B相互独立
事件的独立性在求复合事件的概率中有广泛的应用．概率论中的最早模型之一———伯努里概型就是一个独立试验序列模型，涉及产品质量检验及群体遗传学的概率问题很多都是伯努里概型．
例3设甲、乙、丙三射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9,0.88,0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率．
解设A1={甲射手击中目标}，A2={乙射手击中目标}，A3={丙射手击中目标}，B={目标被击中}，则A1,A2,A3相互独立，P(A)=0.9,P(B)=0.88,P(C)=0.8，且B=A1+A2+A3，于是
又因为A1,A2,A3相互独立，所以也相互独立，即
该题的求解就是利用了事件的独立性及其性质．
例4一条自动化生产线上产品的一级品率为0.6，现从中随机抽取10件检查，求:(1)恰有2件一级品的概率;(2)至少有2件一级品的概率．
解设Ai={恰有i件一级品}，i=0,1，…，10,B={至少有2件一级品}，则
本题中的抽样方法是不放回抽样(由于产品的数量很大，而抽取数量相对较小，因此可以作为有放回抽样来近似处理)，我们可以将检验10件产品是否是一级品看成是10重伯努里试验．该题的求解使用了伯努里定理(如果在一次试验中，事件A发生的概率为p(0<p<1)，则在n重伯努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1，…，n)与对立事件的概念公式
三、利用随机变量的分布列(或概率密度)求解
常见的随机变量及其分布实际上是已知随机变量的分布列(或概率密度)，我们可以根据随机变量的分布函数与分布列(或概率密度)的关系求出事件的概率．该种方法确定现实生活中的随机现象服从的分布是关键．
例5从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率．
解设X表示汽车行驶途中遇到的红灯数，由题意知于是X的分布律为
即汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率为
该题解题的关键是明确汽车行驶途中遇到的红灯数服从二项分布．
例6设某电子元件的使用寿命X(年)服从参数为3的指数分布，现已知该电子元件已使用1.5年，求它还能使用2年的概率．
解该电子元件的使用寿命X的概率密度为
即该电子元件已使用1.5年，它还能使用2年的概率为e-6.
该题综合应用随机变量的指数分布与条件概率公式求解．
综上所述，求解复合事件的概率虽然复杂、困难，但我们可以利用概率的计算公式，事件的独立性及随机变量的概率分布等方法，使复杂的问题简单化，其中分析事件间的关系是各种方法的关键．
参考文献
[1]刘明忠等.应用高等数学[M].南京大学出版社.2013.08.
概率统计教学方法的改革 篇8
以往的灌输式教学, 不能调动学生学习的积极性, 老师和学生都很累, 但教学效果不太理想.在此可以尝试着探索一种新的教学方法, 将教师“教”的主导作用与学生“学”的主动性相结合, 使教师成为学习的导演, 学生成为学习的演员, 最大限度地挖掘潜在能力, 提高教学效果.
1.采用导学与精讲相结合
精讲是少而精, 突出重点, 详略得当, 使教学时间合理分配.“导学”是指导在前, 讲解一些关键性的问题, 然后以学生自学为主.教师要讲清楚各个知识点的基本思想、方法和知识之间的联系, 而对具体的、细化的内容留给学生自己去学习、理解和消化, 以增加课堂信息量.比如, 数学期望和方差的概念要较详细地从概念的实际背景出发进行剖析概念的内涵, 指出数学期望是平均数, 但又不是平均数.方差是用来观测数据的变化程度, 一旦讲清了这一概念, 真正被学生所理解、接受, 学生就了解了学习他们的意义和用处.
2.课堂教学尽量运用启发式教学
注意教学的启发性, 培养独立思维的习惯, 是教学成功的关键.首先, 在教师对教材的处理上, 照本宣科的教学绝不是启发性教学.教案、讲稿是教师掌握、讲授教材的结晶, 但不是一成不变的.因此, 应因时、因学生而变.其次, 在教学方法上, 让全体学生参与教学, 共同探讨.让学生独立思维、主动学习, 对同一问题可变换角度提问, 让学生进行独立思考;或在讲授时故意引人错误观点, 树立对立面, 对比激疑, 引发学生独立思维的习惯与兴趣, 可达到事半功倍的效果.
例如, 一个关于小概率事件的例子:从某工厂的产品中任意抽取200件来抽查, 结果发现其中有6件次品, 能否相信该工厂的次品率p≤1%?
我在讲该题的时候, 设置了一个情景, 假定学生是指将部门的, 正在对该厂进行抽查, 我问他们:你们认定工厂的次品率p≤1%的依据是什么?大家一开始答不出来, 后来在我用小概率事件的定义提示他们, 经讨论, 他们终于知道了思路:若P (x≥6) 很大, 则相信p≤1%;反之, 拒绝p≤1%.经计算P (x≥6) ≤1-undefinedCundefined (0.01) x (0.99) 200-x, 从而得到P (x≥6) ≤0.0166, 所以, 拒绝p≤1%.
3.教学内容与社会生产实践相结合
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学, 数学理论教学的目的完全在于应用.对于实际问题如何通过作一些适当的假设, 舍去一些次要的因素, 把实际问题作出适当的简化, 抽象出一个数学问题 (即数学模型) , 找到相应的数值解法, 然后通过计算机的计算与分析, 将所得到的数学答案用于解决或解释实际问题.
4.教学形式多样化
比如, 组织讨论小组, 教师可提出具体问题, 让小组的学生一起来提出解决的办法和方案, 并实际求解.例如讲放回抽样后可以问大家:假设彩票号码有十位, 那么由放回抽样的定义你中大奖的概率有多大?又如, 假设大伙排队抽奖, 而只有一个能中奖, 那么先抽, 后抽有区别吗?然后可组织课堂讨论, 让同学们自己得出结论.教师要多提一些问题让学生考虑, 或者让学生进行一些归纳和总结.一堂课教师能给学生提多少个有价值的问题, 可以成为衡量教学质量的一个具体指标.
5.教学手段现代化
引进现代教学手段多媒体进行教学, 一方面, 可使教学内容得到拓宽, 除课本内容外还可介绍科技新动态, 对概念的物理背景与几何意义可通过图形、动画展示.另一方面, 多媒体教学使得教学更为直观, 对于一些较复杂的图形可以清晰地表达出来, 教学更具动感, 增强学生的学习兴趣, 保证教学效果.老师不要仅仅站在讲台上, 可以经常走到大家当中, 和同学们近距离接触, 可以大大提高学生参与的积极性.
6.考核形式多元化
考核方式要进行必要的调整, 可采取阅卷+开卷+平时成绩的方式.开卷可让学生完成一篇小论文, 内容上可以涉及学过的知识, 也可以是未学过的知识, 其目的在于培养学生独立分析问题与解决问题的能力以及综合运用知识包括写作的能力, 真正把素质教育落实到概率统计教学中去.而平时成绩的出台可以让一些天资禀赋不太好但努力的学生得到信心和补偿.
总之, 只要我们不断的对概率统计教学的改革进行探索和总结, 那么必将全面提高概率统计的教学质量.
摘要：针对目前概率统计教学中普遍存在的弊端, 从教学方法方面分析了概率统计教学的改革思路, 并给出了实施方案.
关键词：概率统计,教学内容,教学方法,改革
参考文献
[1]欧阳自根, 刘亚春.面向对世纪概率统计教学内容与教学手段的改革研究与实践[J].数学理论与应用, 2000 (4) .
[2]向昭红.关于概率统计教学改革的几点意见[J].数学理论与应用, 2001 (4) .
概率方法 篇9
一、感受“随机事件发生的可能性大小”
随机事件就是我们事先无法确定它会不会发生的事件. 一般地,随机事件发生的可能性有大有小. 我们把一个事件发生的可能性大小的数值称为这个事件的概率.
例1 (2013·福建福州)袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取出一个球,如果取到白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是().
A. 3个B. 不足3个
C. 4个D. 5个或5个以上
【分析】根据取到白球的可能性较大, 可以判断出白球的数量大于红球的数量. ∵袋中有红球4个,取到白球的可能性较大,∴袋中的白球数量大于红球数量4个, 即袋中白球的个数可能是5个或5个以上.
【答案】D.
【说明】本题考查了可能性大小的比较: 在总情况数目相同时,哪一种包含的情况数目多,哪一种的可能性就大;反之也成立;若包含的情况相当,那么它们的可能性就相等.
二、掌握“枚举思想”
枚举思想是解决概率问题的一个重要思想方法,对于一些简单的问题,并不一定要做大量的实验来求解,通过枚举法即可获解.
例2 (2013·山东滨州)若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概率为().
A.1 /2 B.3 /4 C.1/ 3 D.1 /4
【分析】利用枚举法可得:从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条的可能结果有:3、5、6;3、5、9;3、6、9;5、6、9共四种,其中能组成三角形的有:3、5、6;5、6、9两种. 所以能组成三角形的概率为2 /4 =1 /2 .
【答案】A.
【说明】本题中“3、5、6、9”四条线段被抽到的可能性相等,且该实验出现的结果为有限多个,从而应用“枚举思想”解决了本题,这两个特点也正是能运用枚举法求解的两个基本特征.
三、领悟“方程思想”
方程思想是指解决数学问题时,先分析问题中的等量关系,设出未知数,建立方程或方程组,然后求解方程(组),使原问题获解. 这一思想方法在解概率题中应用广泛.
例3一个不透明的袋中装有6个白球和12个蓝球,它们除颜色外都相同.
(1)求从袋中摸出一个球是白球的概率;
(2)现从袋中取走若干个蓝球,并放入相同数量的白球. 搅拌均匀后,要使从袋中摸出一个球是白球的概率是4 /9 ,问取走了多少个蓝球?
【分析】第(1)问根据简单概率的求解方法即可获解;第(2)问中,由于取走的篮球数和放入的白球数相同,即袋中总球数不变,可以根据“从袋中摸出一个球是白球的概率是4/9”这一关系来建立方程求解.
【解答】(1)P(摸出一球是白球)=6 /6+12 =1/ 3 ;
(2)设取走x个蓝球,则由题意得:6+x /18 =4 /9 ,解得x=2.
答:取走了2个蓝球.
【点评】本题中的第(2)问,通过列一元一次方程求解,体现了方程思想在概率解题中的重要作用.
四、学会“用频率估计概率的思想”
在我们的实际生活中,能够直接计算求得概率的事件是有限的,在很多情况下要进行相应的试验,通过实验、观察、记录、分析,计算出相应的频率来估计概率. 在随机事件中,虽然每次实验的结果都是随机且无法预测的,但这些大量随机事件的发生并不是完全没有规律的,在一定的条件下,大量重复进行同一个实验时,随机事件A发生的频率m/n会在某一个常数附近摆动,这个常数就是事件A发生的概率的估计值,所以我们常用大量实验获得的频率来估计事件发生的概率,记作P(A),即P(A)=m/ n .
例4 (2013·江苏连云港)在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,小新从布袋中随机摸出一球,记下颜色后放回布袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色…如此大量摸球实验后,小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%,摸出黑球的频率稳定于50%,对此实验,他总结出下列结论:①若进行大量摸球实验,摸出白球的频率稳定于30%,②若从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大;③若再摸球100次,必有20次摸出的是红球. 其中说法正确的是().
A. ①②③B. ①②
C. ①③D. ②③
【分析】∵在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,其中摸出红球的频率稳定于20%,摸出黑球的频率稳定于50%,∴①若进行大量摸球实验,摸出白球的频率稳定在:1-20%-50%=30%,故此选项正确;∵摸出黑球的频率稳定在50%, 大于其他频率,∴②从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大,故此选项正确; ③若再摸球100次,不一定有20次摸出的是红球,故此选项错误. 故正确的有①②.
【答案】B.
【点评】此题主要考查了利用频率来估计概率,根据频率与概率的关系求解是解答本题的关键,体现了“用频率估计概率的思想方法”.
【说明】利用频率估计概率时,还必须明确以下几点:①事件发生的概率是一个确定值,而频率不是确定的,当实验次数较少时,频率的大小摇摆不定,当实验次数增大时,频率的大小波动变小,并逐渐稳定在概率附近;②通过实验用频率估计概率的大小时,必须保证实验是在相同条件下进行,否则结果会受到影响;③实验次数较少时,频率与概率的误差可能比较大,但也不是说实验次数多时,每次频率与概率的误差就一定比实验次数少时的误差小,这是随机事件本身的特点决定的;④当进行大量实验时,频率和概率可以非常接近,但不一定相等,两者存在一定的偏差也是正常的,如随机地“抛掷一枚质地均匀的硬币”, 理论上着地后“正面朝上”的概率为1/2 ,但2抛掷2 000次,并不能保证着地后恰好有1 000次“正面朝上”,但大量重复实验(如布丰、罗曼诺夫斯基等做的“抛掷质地均匀的硬币实验”)发现,硬币着地后“正面朝上”发生的频率就在1/2附近波动.
五、感悟“数形结合的思想”
“数”和“形”之间有着密切的联系,在一定条件下,可以相互转化,相互渗透. 根据研究问题的需要,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,进而探求问题的解答的思想方法即数形结合的思想方法. 本章中,利用表格、频率分布折线图、图形面积等探求概率的过程,便体现了“数形结合的思想方法”.
例5甲、乙两人制作了如图1所示的一个靶(把两个同心圆平均分成了6份) 玩掷飞镖的游戏. 规定:当飞镖掷中黑色区域时,甲获胜,否则乙获胜(没有掷中靶或掷到边界线时重新投掷). 你认为甲获胜的可能性大,还是乙获胜的可能性大?
【分析】只要先弄清黑色区域面积和整个图形的面积关系即可.
【解答】根据题意,这个靶子是将“两个同心圆平均分成了6份”而制得,所以圆环部分分得的6块图形的面积相等,小圆内分得的6块小扇形的面积也相等. 所以可以将图形下方的三块黑色图形分别通过翻折变换到图形的上方(如图2,为了看得清,将翻折后得到的图形颜色变淡了). 黑色区域的面积是整个图形面积的一半. 所以,飞镖掷中黑色区域的可能性为1/2 ,掷2中白色区域的可能性也为1/2 ,甲、乙获胜的可能性一样.
【点评】本题借助图形面积使问题获解,体现了数形结合的思想,同时本题解答也渗透了“整体的数学思想”.
六、体会“分类讨论的思想”
在解决一些稍复杂的概率问题,如问题中含有多种可能的情况时,往往需要考虑到各种情况对应的结果数,这就需要进行分类讨论.
例6(2013·重庆)在平面直角坐标系中,作△OAB,其中三个顶点分别是O(0,0), B(1,1),A(x,y)(-2≤x≤2,-2≤y≤2,x,y均为整数),则所作△OAB为直角三角形的概率是 ______.
【分析】根据点A(x,y)横、纵坐标满足的条件“-2≤x≤2, -2≤y≤2,x,y均为整数”,可知这样的点共有25个(如图3).但又因为点A与点O(0,0) 和B(1,1)要能构成三角形,所以在直线OB上的5个点不符合要求,所以这样能与点O、B构成三角形的A点共有20个(如图4). 另外,要求“所作△OAB为直角三 角形”,我们可以根据“谁是直角顶点的变动”来进行分类,即:当“点A为直角顶点”时, 符合要求的点有:(0,1),(1,0);当“点O为直角顶点”时,符合要求的点有:(-2,2),(-1,1), (1,-1),(2,-2);当“点B为直角顶点”时, 符合要求的点有:(0,2),(2,0). 故能构成直角三角形的点A共有8个(如图5).所以,所求概率为8/ 20 =2 /5 .
【答案】2 /5
全概率公式的教学方法研究 篇10
1.问题的引入
这部分内容的教学中, 如果直接按照教材顺序先介绍“样本空间的划分”的概念及全概率公式, 学生就会感到很突兀.我们先利用实际生活中的适当的例子, 激发学生的学习兴趣, 调动学生求知的积极性, 使学生直观理解样本空间的划分的作用.
引例[1]:有外形相同的球分别装在三个盒子里, 每盒装10个.其中第一个盒中7个球标有A, 3个球标有B;第二个盒中红球、白球各5个;第三个盒中红球8个、白球2个.现做如下实验:先在第一个盒中任取一个球, 若是A球, 则在第二个盒中任取一球;若在第一个盒中取到的是B球, 则在第三个盒中任取一球, 求第二次取出的是红球的概率.
我们把“第二次取出的是红球”记为A, “第一次取到的是A球”记为C, “第一次取到的是B球”记为D.学生发现直接求事件A发生的概率不好求, 这时候我们要引导学生思考:第二次取出的红球可能是从第二个盒子里取的也可能是从第三个盒子里取的, 是从第二个盒子里取还是从第三个盒子里取又受制于第一次取球的结果, 第一次取球的所有可能结果是C、D, 也就是说C、D是导致A发生的两个原因, 且C、D互不相容且构成了样本空间S的划分, 这样我们就可以用C、D把样本空间S分成两部分, 从而引入样本空间的划分的概念.同时A=AS=A (CUD) , C、D把A分成两个互不相容事件AC和AD, 则P (A) =P (AC) +P (AD) , 把求A的概率转化成求两个相对简单事件的概率和.再由乘法公式得:
P (A) =P (AC) +P (AD) =P (C) P (A|C) +P (D) P (A|D) =0.59.
进一步思考, 如果第一次取球结果是多于两种的情形又该如何解决呢? 从而由特殊到一
般抽象出全概率公式.
2.全概率公式
定理:B1, B2, … , Bn是样本空间S的一个划分, 且P (Bi) >0 (i=1, 2, … , n) , 则对任一事件A有
我们将公式 (1) 称为全概率公式.
3.全概率公式的应用技巧
(1) 全概率公式是加法公式和乘法公式的综合运用.
(2) 全概率公式的意义在于:对于一个复杂的事件A, 若无法直接求出它的概率P (A) , 可将A分解成若干个简单的事件来求其概率.全概率公式可起到化整为零的作用.
(3) 利用全概率公式求P (A) , 把A理解为某一结果, Bi理解为导致结果A的某个原因, P (Bi) 是原因Bi发生的可能性大小, P (A/Bi) 表示原因Bi引起结果A的可能性大小, 而结果A是由各个原因综合作用的.
例1[2].钥匙掉了, 掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别为50%、30%和20%, 而掉在上述三处地方被找到的概率分别为0.8、0.3和0.1.试求找到钥匙的概率.
分析:我们把“找到钥匙”记为A, 把“掉在宿舍”、“掉在路上”、“掉在教室里”分别记为B, C, D.由倒推法我们知道B, C, D是导致A发生的所有原因, 所以B, C, D构成样本空间的划分.
解:把“找到钥匙”记为A, 把“掉在宿舍”、“掉在路上”、“掉在教室里”分别记为B, C, D.则B, C, D构成样本空间的划分.由题意知,
P (B) =0.5, P (C) =0.3, P (D) =0.2, P (A|B) =0.8, P (A|C) =0.3, P (A|D) =0.1.
由全概率公式得:
P (A) =P ( B) P (A|B) +P (C) P (A|C) +P (D) P (A|D) =0.51.
例2[3].甲袋中有5个黑球和5个白球, 乙袋和丙袋为空袋, 现从甲袋中任取5个球放入乙袋, 再从乙袋中任取3个球放入丙袋, 最后从丙袋内任取一个球, 求最后取出的是白球的概率.
分析:把“最后取出的是白球”记为A, 我们发现A的发生受前两次试验的影响.用表示“从甲袋任取5球中有i个白球, i=0, 1, 2, 3, 4, 5”, 用Ci表示“从乙袋任取3球中有i个白球, i=0, 1, 2, 3”.我们知道事件Bi是导致事件Ci发生的直接原因, 事件Ci是导致事件A发生的直接原因, 而事件Bi是导致事件A发生的间接原因.这样, 分析清楚各事件间的关系, 一层一层地处理就不会感到混乱, 也不会出现遗漏.
解:用A表示“最后取出的是白球”, 用Bi表示“从甲袋任取5球中有i个白球, i=0, 1, 2, 3, 4, 5”, 用Ci表示“从乙袋任取3球中有i个白球, i=0, 1, 2, 3”.则
由全概率公式得:
摘要：全概率公式是概率论中的教学重点和难点.本文从实例引入课题、启发推导公式、图示分析内涵、最后总结公式的应用等方面进行阐述, 对这部分内容的教学进行探讨.
关键词：全概率公式,样本空间,教学方法
参考文献
[1]李正耀, 周德强.概率论与数理统计教程[M].科学出版社, 2009:18-19.
[2]茆诗松, 程依明, 濮晓龙.概率论与数理统计教程 (第二版) [M].高等教育出版社, 2011:52.
[3]章昕.概率统计名师课堂[M].科学技术文献出版社, 2006:18-19.
概率方法 篇11
一、统计的合理性
1.样本的合理性
在进行数据的收集、整理、描述、分析时，首先需要抽取一个合理的样本，才能根据样本的情况估计总体的情况，解决这类问题的关键是要体会收集数据结果的不确定性，理解抽样的必要性和样本抽取的合理性，才能根据样本合理推断总体的情况.
例1 （2015·山东淄博）下列调查，样本具有代表性的是（ ）.
A.了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D.了解观众对所看电影的评价情况，对座位号是奇数号的观众进行调查
【分析】A.选取某班男同学作为样本进行调查，太局限，不具代表性、广泛性，故A错误；
B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；
C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；
D.了解观众对所看电影的评价情况，对座位号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确.
【点评】从局部情况推断整体的情况是统计学的一个基本思想，此题主要考查样本抽取的合理性.判断的依据是样本抽取必须是随机的，对各个层次的对象都要有所体现，要达到一定的容量，样本才具有代表性.
2.预测的合理性
统计类中考题中常常综合运用条形统计图、扇形统计图、折线统计图、频数直方图等给出信息，我们要利用分析得出的数据对总体进行合理预测或建议.
例2 （2016·湖南岳阳）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表.请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）统计表中m= ，n= .扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 %；
（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天；
（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议.
【分析】（1）由A占25%，即可求得m=80×25%=20，继而求得n=80-20-44-4-2-2=8，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比：[4480]×100%=55%.故答案为：20，8，55.
（2）首先由（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解，估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292（天）.
（3）提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等.
【点评】本题由频数分布表、频数直方图得出每一项的具体数据，由扇形统计图可以看出各项所占的比例，利用统计图获取信息时，必须仔细观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断，解决相关的问题.
二、规则的公平性
概率与我们的生活息息相关，概率模型可以帮助我们作估计、做决定，解释一些现象，澄清日常生活中的一些错误认识，解决这类问题的关键是把一些生活中的实际问题转化为概率模型，运用概率知识去解决问题.
例3 （2016·江苏苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字-1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同.
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ；
（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率.
【分析】（1）随机地从布袋中摸出一个小球共有3种等可能结果，摸到标有数字2的小球只有1种可能，所以摸出的球为标有数字2的小球的概率为[13]；
（2）先画树状图列出共有9种等可能的结果，然后根据概率公式求解.
画树状图得：
共有9种等可能的结果，点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数有6种，所以点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率=[69]=[23].
【点评】本题主要考查了用列表法或画树状图法求事件的概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能结果，当完成两步或两步以上的事件时适宜选用画树状图法，当完成不超过两步且可能结果数较多的事件时，适宜选用列表法.本题用到的知识点有坐标与图形性质、列表法与树状图法、概率公式.
例4 （2016·江苏泰州）一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0、1、2，这些球除了数字外其余都相同，甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜.
（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由.
【分析】（1）第一次甲随机摸球一次有3种等可能结果，因为甲摸球后不放回，第二次乙摸有2种等可能结果，
列举所有可能结果：
（2）游戏不公平，由表格可以看出共有6种等可能结果，和为奇数有4种，和为偶数有2种，甲获胜的概率=[13]，乙获胜的概率=[23]，
乙获胜的可能性大，所以游戏规则不公平.
【点评】判断游戏是否公平的关键是计算每个事件发生的概率是否相等，通过列表法或画树状图法得出每个事件的概率，相等就公平，不相等就不公平.
同学们，上面我们列举了中考中一些典型的统计和概率问题，只要各位同学熟悉教材中的几个统计量，合理抽取样本，会建立合适的概率模型并进行正确计算，一定能解释生活中的一些概率问题.
结构概率可靠度设计方法及应用 篇12
1 结构概率可靠度设计方法介绍[2]
结构设计中的一般性结构构件若采用随机变量的统计参数可直接计算其可靠度,对比我国工程技术人员历来沿用的以基本变量标准值和设计系数表达式的设计公式,其变化较大,且设计计算量也较大,因此,在具体的设计表达式中,采用基本变量的标准值和与可靠度β有一定对应关系的“分项系数”,这些分项系数代替了可靠度指标β,分项系数主要通过可靠度指标的分析及工程经验校准法确定。
1.1 承载能力极限状态设计表达式
对于承载能力极限状态,应考虑荷载效应的基本组合,结构按极限状态设计,其设计表达式为:
γ0S≤R (1)
其中,S为荷载效应组合的设计值,代表轴力设计值N、弯矩设计值M、剪力设计值V、扭矩设计值M1等;R为结构抗力的设计值,代表截面对轴力、弯矩、剪力和扭矩等的抵抗能力;γ0为结构重要性系数,取值见表1。
荷载效应组合设计值S和抗力设计值R可以根据极限状态方程转化为设计人员所用的基本变量的标准值和分项系数表达式。
R=R(γR,fk,ak…) (2)
其中,γR为结构构件抗力分项系数,其值应符合各类材料的结构设计规范的规定;fk为材料性能的标准值;ak为几何尺寸的标准值。
对于基本组合,荷载效应组合设计的设计值S应考虑两种组合情况:可变荷载效应控制的组合及永久荷载效应控制的组合,S应从下面这两种组合值中选取不利值确定。
1)可变荷载效应控制的组合。
2)永久荷载效应控制的组合。
其中,γQ1,γQi分别为第1个和第i个可变荷载的分项系数;SGk为按永久荷载标准值Gk计算的荷载效应值;SQ1k,SQik分别为第1个和第i个可变荷载标准值Q1k和Qik计算的荷载效应值;ψCi为第i个可变荷载标准值Qi的组合值系数;n为参与组合的可变荷载数;γG为永久荷载的分项系数。
在有些情况下,要正确地选出引起最大荷载效应SQ1k的那个活荷载Q1比较困难,此时,可依次设各可变荷载为SQ1k,代入式(3),然后选择其中最不利的荷载效应组合。偶然组合是采用永久荷载、可变荷载和一个偶然荷载的效应组合,荷载效应组合的设计按下列规定确定:偶然荷载的代表值不乘分项系数;与偶然荷载同时出现的其他可变荷载可根据观测资料和工程经验采用适当的代表值。此外尚应考虑偶然荷载对抗力的影响。
1.2 分项系数的确定
分项系数包括荷载分项系数、结构抗力分项系数及构件重要性系数,其确定原则为:在各项标准值给定的前提下,选取一组分项系数,是按极限状态设计表达式设计的各种构件所具有的可靠指标,与规定的之间在总体上误差最小[2]。按照此原则文献[2]通过对钢、薄钢、钢筋混凝土、砖石木结构等14种有代表性的构件进行分析,最后确定,一般情况下采用γG=1.2,γQ=1.4,在特殊情况下可以做合理调整,如对于标准值大于4 kN/m2的工业楼面活荷载,其变异系数较小,可取γQ=1.3。另外,分析表明,当永久荷载效应与可变荷载效应相比较大时,若采用γQ=1.2,则结构的可靠度远不能达到目标值的要求,可取γG=1.35;当永久荷载效应与可变荷载效应异号时,若仍采用γG=1.2,则结构的可靠度会随永久荷载效应所占比重的增大而严重降低,建议取γG=1.0。
结构构件抗力分项系数,应按不同的材料采用不同的材料性能分项系数,在各类材料的结构设计规范中,按上述原则,适当考虑工程经验确定。结构构件重要性系数γ0主要是体现建筑物的安全等级不同时可靠指标的不同要求,采用概率可靠度设计方法分析表明,各级安全等级之间γ0取值相差0.1,大体相当于可靠指标相差0.5。具体取值见表1。
2 工程实例
某混合结构办公楼三层办公室平面如图1所示,采用整浇钢筋混凝土楼盖,板厚为120 mm,梁截面尺寸为b=250 mm,h=720 mm,板面20 mm厚水泥砂浆面层,梁底吊天花(0.45 kN/m2),钢筋混凝土自重25 kN/m3,水泥砂浆21 kN/m3,楼面活荷载为2 kN/m2。
1)恒荷载标准值计算。
钢筋混凝土板:G1k=25×0.12×4.0=12 kN/m。
砂浆面层、天花:G2k=21×0.02×4.0+0.45×3.6=3.3 kN/m。
梁自重:G3k=25×0.6×0.25=3.75 kN/m。
恒荷载标准值:Gk=12+3.3+3.75=19.05 kN/m。
2)活载标准值计算。
Qk=2×4.0×0.9=7.2 kN/m。
根据以上计算结果绘出梁计算简图(见图2)。
简支梁跨中截面弯矩:
按承载力极限状态计算弯矩组合设计值M,M应从以下两种组合中取最不利值:
a.可变荷载效应控制的组合。
永久荷载分项系数γG=1.2,结构重要性系数γ0=1.0,因梁上仅一种可变荷载,故可变荷载分项系数γQ1=1.4,由式(3)得:
即得M1=263.52 kN·m。
b.永久荷载效应控制组合。
永久荷载分项系数γG=1.35,可变荷载分项系数γQ1=1.4,查表得组合值系数ψC1=0.7,由式(4)得:
即M2=262.19 kN·m。
由M1>M2,故梁跨中弯矩组合设计值应由可变荷载效应控制的组合确定。
即M=M1=263.52 kN·m。
3 结语
建筑工程结构设计是一个极其复杂的过程,本文仅就一个简单的例子,应用结构概率可靠度设计方法计算了梁跨中弯矩组合设计值。该方法计算过程简单,思路清晰,计算结果可靠,且易于被一般工程设计人员掌握。该方法还处于国际上公认的以概率论为基础的极限状态设计方法的第二阶段,更为准确的设计方法全概率极限状态设计法对结构各基本变量采用随机变量或随机过程描述,对整个结构采用精确的概率分析,求得结构最优失效概率作为可靠度的直接度量。相信在不远的将来能够成为结构设计的主流。
摘要：结构设计荷载计算对于整个建筑结构的可靠性至关重要,系统介绍了结构设计的发展阶段,详细说明了结构概率可靠度设计方法的计算过程,并将其应用到某办公楼梁荷载的设计计算中,得出了可靠的计算结果。
关键词：荷载计算,结构设计,可靠度
参考文献
[1]赵国藩.工程结构可靠度理论与应用[M].大连:大连理工大学出版社,1996.
[2]张学文,罗旗帜.工程结构可靠度理论与应用[M].第2版.广州:华南理工大学出版社,2007.
[3]GB 50068-2001,建筑结构可靠度设计统一标准[S].