小学数学教学中的抽象

小学数学教学中的抽象（精选11篇）

小学数学教学中的抽象 篇1

1研究背景

1.1教学内容(知识点)分析

《各人眼中的20》是一年级下半学期数学《整理与提高》单元的最后一课。它的教学内容是让学生学会一组一组地计数,并会把所给的数分拆成相同数连加,能让学生利用加法的策略来找到乘法题的答案,为二年级上半学期学习乘法计算做好准备。简简单单一页纸的教学内容,却起着承上启下的教学作用。

1.2学生情况分析

本班有33名学生,在经过差不多一年的小学学习生活实践后,大都适应了学校的作息要求,具备了一定的自控能力,注意力比较集中,语言表达较好,能跟着教师完成学习任务。

在学习本课之前,学生已能正确和熟练计算100以内的加法,连加的运算顺序也非常清楚。对于学具的使用,学生经过较长时间的训练已克服好奇心能规范操作。对于数学语言的表达,学生也已能用简洁完整的句子形式说出思维过程。学生的这些品质为本课的学习打下较好的基础,有利于他们在探究活动中,建立自信,循序渐进,稳步提高。

1.3教学目标

1)能一组一组地计数,会用各种方法来描述20的集合(个数20的集合),为建构乘法做准备。

2)培养学生的观察能力和语言表达能力。

1.4教学重点、难点分析

重点:会从不同角度思考,用各种方法分割数的集合。

难点:建构几个几,用语言描述分割的结果。

1.5教学策略的选择

教学策略的选择必须符合教学规律和教学实际,教学策略的运用将最终影响到每个学生的成长。此教学内容是针对一年级学生这个特殊群体,他们掌握知识相对较少,自主性差些,对知识的认知依赖于对客观现实的认识和教师不断地启发和引导。但他们好奇心强,具有潜在的学习热情和探究动力,是有待发展的主体。因此,我采用主题探索策略把真实世界的知识内容按照活动主题的形式进行设计,让学生在仿真的教学环境中,在教师有针对性的指导下,从关心和解决现实问题着手,慢慢探索和思考抽象的数学知识和规律,在由浅入深、有形象到抽象的思考过程中实现学生思维方式上的真正飞跃。

当然,一年级的学生毕竟还是以形象思维为主,数学学习活动较多的是依赖模仿与记忆。为了让学生更好的探究数学问题,了解数学知识的形成过程,从而实现对数学知识的理解和掌握,课中我采用了动手操作的教学策略,帮助他们在动手实践、自主探索与合作交流中更好、更顺利地完成向抽象思维的过渡。

2教学过程

考虑到一年级学生掌握的知识相对较少,自主性较差,对事物的认识依赖于教师的启发和引导,但他们好奇心强,具有潜在的学习热情和探究动力等特征。对于导学案的设计和导学课的实施,我重点把握以下三个方面:

2.1情境激趣,亲近学习

数学学习必须从学生的生活情境和感兴趣的事物出发,使他们感到数学就在身边,对数学产生亲切感。

小丁丁过生日请客:

1.小丁丁有8个桔子,想全都分给2个好朋友,他分给一个小朋友3个,分给另一个小朋友5个,这样分好不好?

生:不好!每人分4个,这样比较公平。

2.那小丁丁给每人分3个呢?这样两个小朋友分到的桔子个数也是相同的,你们觉得这样分合适吗?

生:不合适,没有全部分完。

每个学生都因为生日请过或被请过客,他们信奉公平原则,愿意把自己的东西全部分给好朋友们。运用这个符合学生心理的情境,我在他们思维中建立起这节课的要求:每人分到东西的个数相同且要正好分完,为后续学习做好铺垫。

2.2操作实践,体验学习

人们常说:听了记不住,看了印象深,做了记得牢。动手操作、亲身实践是学习数学的重要方式。

在学生经历了“小丁丁眼中的20”这个教学片段,知道并会用数学语言表达“10个一圈,圈了2圈,就是2个10”这个环节后,就让学生操作实践。

小朋友眼中的20:

1.小丁丁眼中的20是2个10,那么你眼中的20会是几个几呢?请小朋友用双色片代替糖果,自己来分一分,说一说。

要求:需要几个圈就拿几个圈,每个圈里分的要一样多,要分完。

2.学生分完后,反馈并板书

这个环节的教学能让大多数学生积极参与,他们从不会到会,从学会到会学,是一个由不知到知、由知之不多到知之甚多的逐步深化过程,这符合学生的认知规律与潜能外化的规律。整个实践操作过程,既让学生体验了主动探索获取知识的乐趣,又增强了他们学习数学的动力和信心。

2.3达标反馈,感悟学习

练习是达标反馈的基本途径,是学生在教师指导下,巩固知识、运用知识、形成技巧的方法。练习的设计要立足课本、抓住重点、循序渐进、生动新颖、训练思维。练习的层次要适合学生从已知到未知、从具体到抽象、从现象到本质、从简单到复杂的认知规律。

为了让一年级学生更好地理解和掌握本课重点、难点,我设计的习题难度由“思维表象”渐进到“数学抽象”。

1)基本题

动手圈画:20块蛋糕,一个要大家圈4个5,另一个要大家圈5个4。

2)变式题

A.如图1,小胖:4个3是12()小丁丁:3个4是12()

3)综合题

圈一圈,填一填(图3)

2个()()个3()个()

4)拓展题

用眼睛看着来圈一圈,说出你看到了几个几(图4)。

数学在本质上研究的就是抽象的东西,练习设计所依据的基本思想就是如何由形象合理到达抽象。一年级学生虽以形象思维为主,但开始向抽象思维过渡,练习中越早进行逻辑思维训练,就越能激发他们的智力和创造力,就越能回归数学本质,感悟数学。

3教学反思

通过这节课的教学,首先学生已能根据题意按要求分割数的集合,并用数学语言描述分割的结果;其次学生在脑中已树立了“几个几”的建模,并能用相同加数连加的形式表达出来,为二年级乘法学习做好了铺垫;最后,让我感触最深的是一年级学生的数学学习活动必须要让学生动手实践、自主探索,从学生已有体验出发,多方面、多角度、多层次培养学生的数学思维能力,只有这样课堂教学才能真正有效,学生才能真正得到提高和发展。

3.1让学生在熟悉的场景中激活思维

数学来源于生活,生活中处处有数学。在教学中,教师应着眼于学生周围的生活情境,充分挖掘已有生活经验的素材,创设情境帮助他们去经历和体验生活,培养他们用数学的眼光去观察和认识事物,以激发他们的兴趣,激活他们的思维,拉近他们与数学的距离。

3.2让学生在实践的过程中灵活思维

实践是知识的源泉也是检验真理的最好方法。通过实践,能让学生自己发现问题并解决问题,但值得注意的是,教师要从旁引导学生有针对性的操作实践。通过实践,还可以有效的帮助学生在了解数学知识的同时更好的学会如何运用所学的知识,充分锻炼他们思维的灵活性以及解决问题和创新的能力。

3.3让学生在练习的解答中系统思维

教师要遵循学习的规律和学生的年龄特点、认知水平,精心设计练习的内容形式,基本题———变式题———综合题———拓展题,要有层次、有梯度,兼顾差异,有效地融于课堂教学的全过程,使学生在掌握应学知识的基础上,能展开系统的、全方位的思考,以达到形成能力、发展自我的育人目标。

虽然课堂教学流畅,学生反应较好,但是在练习中发现学生在按要求圈画“几个几”时正确率不高,知识掌握仍有不足。课后思考,我没有很好的在新授和练习之间渗透学法指导,就直接让学生从“看、说”圈画跳跃到“动笔”圈画是造成看似懂,其实还不太懂的原因。如果这中间能增加一个模拟圈画的环节,就能更好的帮助学生攻克学习难点。可见在教学中,学生并不是一教就会、一点即悟的,真正理解和掌握知识,形成学习能力,是一个逐步领悟和吸收的过程。在今后的教学设计中,我要注意从扶,到半扶半放,少扶少放,直至完全放手的时间节点和过程指导。

小学数学教学中的抽象 篇2

摘要：高中美术欣赏教学为发展学生整体素质服务:以学生发展为本, 注重学生的个性发展和全面发展, 最终使学生学会学习, 学会做人, 终身受益。抽象画教学是美术欣赏课中的难点及重点。学生对于抽象画的理解还停留在‘望画生义’的阶段, 如何让学生在美术欣赏课中更直观准确地理解抽象画教学的意义成为教学的首要目标。

抽象画起源于19俄国艺术家康定斯基之手, 康定斯基破旧立新在厚积薄发中完成了内在精神原则下的抽象视觉语言体系、造型方式及构成法则系统构建, 带来了“表现性抽象”的审美追求和美学信念, 实现了具象到抽象本质的跨越。

一、抽象美术的特点

(一) 作品形象的抽象性

在教学活动中欣赏抽象美术作品并不能以画的像不像作为主要参考因素, 因为抽象作品的抽象性的存在, 在一副抽象作品创作成型后并不能再画中给欣赏着一些直观明确的信息来表明画中画的是什么, 而是以朦胧的意境为主的创作形式, 注重以点、线、形、色等构成画面内容的主要元素来表达画中的内涵。此时在高中美术的欣赏课中, 应该引导学生根据对作品的主观感受来调动对作品的情绪感, 从而达到培养学生对抽象画有‘抽象’的认识, 而不是去凭借看到的画中景象来猜测作者要描绘的事物。

(二) 抽象画面具有很强烈的动感

大部分抽象绘画的作品都是以强烈的色彩差和笔触感来给观赏者造成视觉上的冲击。那么如何分辨随笔涂鸦和抽象作品就是看该作品呈现给观赏者的是一种怎样的情绪。我们观赏一副抽象艺术作品的内在需求就是寻求一种精神的共鸣, 可以根据抽象艺术作品之中的线条色彩给我们的视觉和意识产生某种高亢、激动或者愉悦的情绪。而信笔涂鸦的画作由于没有规划性和目的性给观赏者的感受只是乱, 并没有抽象画给人的那种很强烈的动感。

(三) 优秀的抽象画趋向音乐性

抽象画利用色彩与声音产生无意识的链接, 观赏者在观赏的时候可以习惯性地在脑海里产生相应的情绪和乐章。在高中美术欣赏课的抽象画教学环节中, 要想让学生体会到抽象画的音乐性, 可以有针对性地向学生展示具有代表性的抽象画作品, 比如蒙德里安的《红、黄、蓝构图》。

(四) 抽象作品意境的多样性

抽象作品以点、线、面等符号元素组成不明确的物象, 自然其中的含义也是不可以明确的。每个欣赏着从作品中感受的意境应该是不尽相同的, 如果一副抽象作品给不同欣赏着相同或相似的感觉体验, 那么这幅抽象作品必然是一副不合格的作品。在欣赏课上可以向学生展示不同抽象作品以此来加深学生对抽象作品的认识和对抽象作品辨识度的提高。

二、在高中美术欣赏课中进行抽象画教学的作用

(一) 转变审美观念

抽象美术与近现代美术最大的不同就是在欣赏观念上发生了根本性的变化。随着事物的.发展和生活水平的提高, 人们对艺术的欣赏已经逐渐从客观的角度转变成主观带有感情色彩的精神世界。抽象画的创新特点就是放弃了传统美丑好恶的标准, 只注重主观审美。抽象艺术突破了传统观念的束缚, 在艺术表现形式上追求创新和探索。

在高中美术欣赏课抽象画教学中, 看待抽象画要转变学生的审美观念, 要使学生认识到传统美术艺术和抽象美术艺术在形式和理解方式上有着本质上的区别, 从观念上转变学生对抽象画的理解方式, 使得学生在欣赏和理解抽象画的时候能够自主地从传统的审美观念上转变过来, 并且能够融会贯通在传统美术艺术的立场和观念上来看抽象艺术, 以便能够使学生能够更全面地认识抽象画教学中的抽象艺术。

(二) 让学生成为欣赏的主体

在高中美术欣赏课程中, 学生们通常以一个理性的旁观者身份来参与到欣赏抽象画作品的过程中去。只懂得一味地用机械化和量产化的词汇来表达对抽象画作品的感受, 使得课堂教学中达不到更深层次的教学意义。尤其是在抽象画教学中, 更需要的是学生们的主观感受和情感的流露。学生丧失了对抽象作品的主观感受也就体会不到抽象作品中所表达的真实艺术情感。

学习是学习者主动构建知识的过程, 而不是将课本和教师的知识简单地装入学生头脑的过程。在美术欣赏的课堂之上, 老师应该积极为学生创造符合抽象画中的情景和意境, 以此来增强教学的趣味性变相地加强学生对抽象艺术的求知欲。

三、抽象画教学在高中美术欣赏课中的应用

(一) 实践教学法

由于抽象画并不像写实画那样需要严格的艺术功底, 所以可以在课堂上要求学生根据自己的喜好制作属于自己的抽象画并对自己所做的抽象画作出解释。教师可以根据学生创作的抽象画加以命题, 让学生自己思考来回答, 加深对抽象画的理解能力。

(二) 对比欣赏法

在欣赏课堂之上许多学生在欣赏国外的现代抽象画时许多学生可能看不懂其中的内涵。我们可以在教学环节中作出对比, 列出与抽象画类似的艺术形式向同学们作出解释和说明, 比如中国的草书, 我们虽然不能看懂草书上字的意思, 却大致能懂它的形式韵味, 将二者作对比来欣赏对学生来说能起到解惑的作用。

(三) 图案肌理的制作方法

高中学生理解能力强, 再加上不需要写实绘画那样有严格的技艺, 可让他们动手制作抽象画。在制作中去体会抽象画所带来的乐趣。如让学生在板面 (如玻璃、塑料板、纸板) 上, 用水粉、油墨等颜料随意涂画, 色彩要饱满, 水色要淋漓, 以此构成丰富而微妙、自然的肌理效果, 然后根据画面效果命题。

浅谈小学数学抽象教学的时机把握 篇3

【关键词】小学数学 抽象教学 时机

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）06-0141-01

一、抽象教学的时机把握，需要教师把教学立场真正转向学生

教师所采取的种种教学活动都是为了学生的学习而服务。把学生的学习作为一切教学活动核心的教学立场对于抽象教学来说是十分重要的。这一教学立场要求教师从学生的角度来看待其学习中的实际问题，即学生学习的一般情况、适合学生的学习方法以及学生自身学习的需要。学生学习的一般情况就是指学生中最为普遍的学习过程也就是教材上的学习过程。适合学生的学习方法则是在一般情况的基础上结合学生的性格、能力特点，考虑学生的学习过程，教材中呈现的学习结构是最主要的表现形式。而学生的学习需要，是在前两者的基础之上，通过对学生学习的具体情况分析，针对性的进行教学活动设计，对其中包括情境创设、教学活动的组织、数学习题的训练安排等等过程和环节进行科学合理的设计。

二、抽象教学的时机把握，需要教师立足于对数学内容抽象特点的正确理解

要选择恰当的抽象教学时机，就要求数学教师对教学内容的抽象特点有着深刻理解，清楚地认识到数学中的各种抽象概念和它们之间的区别与联系。具体来说就是了解所要教授的抽象知识属于对某类数学对象哪一方面的本质属性的抽取，以及认识到是对哪些方面属性进行了舍弃，通过这种方式了解学生在学习中应该了解的数学抽象的过程，从而对抽象教学的时机进行准确把握。而且要对数学抽象的层次性特点有所把握。利用对具体材料的感性认识来完成的抽象，其层次比较低。因此需要发展到通过表象、概念来进行抽象，这是抽象能力的一般发展轨迹。小学生的抽象教学也应该结合抽象能力发展的不同阶段特点，根据教学内容的特点安排教学。

三、抽象教学的时机把握，需要教师合理灵活地驾驭教材内容

教材的框架结构设计对于学生的普遍性学习过程有一定的科学指导。但是由于具体情况的复杂性和多变性，照本宣科的进行教学是不可取的，教师要根据对相关内容的理解和学生的具体特点对教材内容进行合理调整。需要教师注意的是这种调整并不是随心所欲的，要对各方面因素进行综合性的考量，除了对具体情况的全面考虑之外，还要对教材内容结构设计的意图进行深入了解，只有对教材内容结构设计的教学意图产生深刻的理解，才能在此基础上对教材内容的安排进行二次创造。这样的做法也有助于教师恰当把握抽象教学的时机。

四、抽象教学的时机把握，需要教师具备教学实践理解力和灵活性

教师的教学实践能力的提高离不开对教学活动的及时反思和审视。只有这样，及时教师在教学活动的设计上出现问题，例如教学内容的时机不对、方式不合理等，也有补救的空间，可以根据学生的反应对其进行合理的调整。因此，教师在对相应的教学活动进行设计时要使其具备灵活性的特点，能够为教学活动及时适应具体的现实要求打下良好的基础，从而帮助教师选择恰当的时机来进行抽象教学。

五、结语

小学数学抽象教学的时机把握问题，需要教师对自己的教学心态进行合理的调整。在教学实践中数学教师应该注意方法策略，引导学生循序渐进的掌握抽象数学知识，并对数学抽象的方法加以理解。这样的做法能够帮助教师了解学生的学习情况，并借此了解何时进行抽象教学能有效提高学生的学习效果，从而恰当的把握小学数学抽象教学的时机。

参考文献：

数学抽象在教学中的应用 篇4

【第一环节】: 提供感知材料, 目标是为后面分类归纳作铺垫.

师: 前面我们学习过“相反数”、“绝对值”这两个内容, 今天我们要看看这两个概念有没有关系? 我们先来试一试:

根据绝对值的意义填空:

(1) |2.3|=___, (2) |-5|=___, (3) |7/4|=__, (4) |6|=___, (5) |-10.5|=___, (6) |-74|=___, (7) |0|=___.

请仔细观察这些式子, 你发现什么? 它们各自有什么特点?然后根据这些特点尝试将它们合理分类. 学生独立对材料进行分析研究, 教师捕捉资源.

分类一:a. (2) (4) (7) ;b. (1) (5) ;c. (3) (6)

分类二:a. (1) (3) (4) ;b. (2) (5) (6) ;c. (7)

师: 请大家观察屏幕, 这是从小组中找出的这两种分类方式, 接下来, 请学生说一说它们有什么共同特点? 然后想一想它们的分类标准是什么? 请大家小组里面讨论一下. ( 学生小组合作, 探索交流. )

生 ( a) : 分类一中 ( 2) ( 4) ( 7) 是求整数的绝对值; ( 1) ( 5) 是求小数的绝对值; ( 3) ( 6) 是求分数的绝对值; 他是按整数, 小数, 分数来进行分类的.

师: 这种分类方法大家有没有不同的看法?

生 ( b) : 我觉得, ( 2) ( 4) ( 7) 分为一组, ( 1) ( 3) ( 5) ( 6) 分为一组, 小数实质上也是分数.

师: 很好, 后一组分类呢?

生 ( c) : 分类二中是把数分为求正数的绝对值、求负数的绝对值, 求0 的绝对值来进行分类的.

【第二环节】: 分类归纳, 目标是学生能说出有理数绝对值分类结果.

生 ( d) : 正数、负数、零都有绝对值. 整数、分数也都有绝对值.

师:很好, 能不能用一个词来概括说一说?

生 (d) :有理数都有绝对值.

师: 很好, 还有吗? ( 学生沉默, ) ( 初一学生还处在具体形象思维向抽象逻辑思维转折的起始期. )

师: 整体看, 分成一类的这些式子还有什么特点? ( 引导学生观察整个式子的含义. )

生 ( d) : ( 急切地举手) 正数的绝对值就是直接把绝对值符号去掉.

师: (追问) 求出的绝对值结果与这个数是什么关系?

生 (学生群答) : (学生争着纷纷说)

(突出不变;相等;就是它本身等关键词.)

(师板书“正数的绝对值是它本身“)

师: 还有什么发现?

生 (学生群答) :零也是这样的.

(师板书“0的绝对值是0“)

师: 还有吗? ( 学生沉默. 给学生充分的思考时间) .

生 (e) :求负数的绝对值与求正数的绝对值结果不一样.

师:怎么不一样能具体点吗?

生 ( e) : 负数的绝对值也是正数.

师: 就这些了吗? ( 没有进一步的发现) 请坐, 这名学生指明了负数的绝对值也是正数. 大家还有什么发现.

生 ( 学生群答) : 它们的数值是一样的, 就是符号不一样; 这两个数是互为相反数.

师: 大家议一议, 一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数有什么关系?

学生归纳. ( 板书: 正数的绝对值是它本身; 负数的绝对值是它的相反数; 0 的绝对值是0. )

师: 问题解决, 例题教学:

例求下列各数的绝对值: + 6, π, - 3, - 2. 7, 0.

学生板演, 学生评讲出. ( 巩固上面归纳的问题结论的学习. )

解: | + 6 | = 6, | π| = π, 正数的绝对值是它本身; | - 3 | = 3, | - 2. 7 | = 2. 7, 负数的绝对值是它的相反数. | 0 | = 0, 0 的绝对值是0.

【第三环节】: 概括抽象, 目标是研究| a| 的含义.

师: 经过上面的学习, 大家想一想, 一个有理数的绝对值, 如果用数学式子表式的话, 怎样做呢?

生: ( 沉思. )

师: 比如我们在小学里学过字母a表示数, 现在我们用字母a表示一个数, 那它的绝对值就可以表示为| a | , 它的结果等于什么? ( 大家分小组交流讨论, 并尝试写出结果. )

教师巡视展示学生结果, |a|=a;|a|=0.

师:就这些了吗?

生 ( c) : ( 底气不足) | a| = - a.

师: ( 追问) 你是怎么得到这式子的, 能告诉大家你的理由吗? ( 生摇头不知. )

师: 大家认为这三个式子有没有自己的想法, 它们都是正确, 还是有的式子是错误的? 说说你的理由.

生 ( e) : | a| = a; | a| = 0 这两个式子是正确的, | a | = - a是错误的. 依据是正数的绝对值是它本身; 0 的绝对值是0; 一个数的绝对值是正数, 不能是负数, 所以| a | = - a这个式子是错误的. ( 大部分学生的观点. )

师: 大家都同意这个说法吗, 有没有学生有不同的意见?

生 ( d) : 我认为| a| = - a是对的, - a不一定表示负, 刚才教师说字母a表示一个数, 没有说是什么数, 如果是| - 3 | = - 3就错了, | - 3 | = - ( - 3) 就是对的.

师: 这名学生回答的很好, 这个学生还列举了刚才学习过例子, 我们知道, 现在字母a表示一个“数”, 这个“数”是什么数?

生 ( 学生群答) : 有理数.

生 ( 抢答) : 我知道了, | a| = a; | a| = 0; | a| = - a; 三个式子都是对的. a是正数时, | a | = a; a是0 时, | a | = 0; a是负数时, | a| = - a.

师: 太好了! 有理数可以分为正数、负数和0, 字母a表示一个有理数, 那它的绝对值就要分类进行讨论, 当a是正数时, a的绝对值是它本身, 即当a > 0 时, | a| = a.

当a是0 时, a的绝对值是0, 即当a = 0 时, | a| = 0.

当a是负数时, a的绝对值是它的相反数, 即当a <0 时, | a | =- a.

至此, 第一环节就是先从学生掌握的绝对值意义入手, 再通过观察归纳正数、0 和负数绝对值各自的特点, 进行分类; 第二个环节是在第一个环节的基础上, 通过学生的自主学习、交流讨论, 归纳出有理数绝对值的三类情况, 学生能用文字语言叙述出来, 同时, 能应用到实际解题中; 第三个环节是对学过内容的再抽象, 把有理数的绝对值抽象为符号表示, 使其更具一般性. 如果我们直接把有理数绝对值与相反数的关系简单地告诉学生, 可能学生能记住形式, 通过模仿也可能求出结果, 但这样的教学会使学生会失去一次体会数学抽象, 感悟“分类思想”的数学学习历程[2].

参考文献

[1]刘永东.例谈数学讲题中的概括活动[J].中国数学教育, 2015 (5) :35.

浅谈小学数学概念的抽象及其本质 篇5

关键词：数学概念；抽象；本质特征；课堂教学

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）10-387-01

数学概念是数学理论体系的基础，从20世纪40年代起，概念理解逐渐成为教育心理学的一个主要研究课题，然而因为受到“回归基础”运动的影响，在20世纪80年代中期典型的小学数学课堂里，有85%以上的时间花在练习运算程序上，只有不到15%的时间用于发展概念的理解。到了20世纪90年代后期，概念理解才又重新成为数学课堂的焦点。尽管如此，在我国当前的小学课堂教学中，重定义轻理解的现象仍然普遍存在。这也可以从教师们在教学时产生的困惑中窥见一斑，如一位教师在“比的意义”课后反思中谈到：“一节课下来，做后测时问学生，什么是比？学生也能对答如流：两个数相除又叫做两个数的比。过几天再测，学生回答起来就有些茫然，追问原因，学生的回答是没背下来，忘了。扪心自问，小学的概念教学只是让学生把概念背下来就算学会了吗？教师上课时也设计了一些贴近生活的情境，为什么经过几天的搁置，学生对概念的理解就会淡忘甚至遗忘呢？”相信这位教师的困惑也是很多一线教师的困惑，那么数学概念本身有哪些特点？学生对数学概念有着怎样的学习与认识过程？教师如何帮助学生理解与巩固数学概念？本文拟以“比的意义”一课为例，对这些问题进行一些梳理和探讨。

一、数学概念的形成是一个抽象的过程

从数学本身的发展来看，数学概念的来源一般认为有两个方面：一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得；二是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象所获。所以说，数学概念既有它的抽象性，也有它的具体内容。例如“比的意义”这部分内容，2001年版课标下的各个版本教材尽管在处理方式上有所不同，但都是通过设计丰富的情境，如国旗的长与宽的关系、路程与时间的关系等情境，在引导学生充分感知和体会的基础上，再抽象出“两个数相除又叫做两个数的比”或“两个数的比表示两个数相除”。不管采用什么样的情境，一般来说，大陆版教材都将比的含义划分为两层：一是比例（刻画同类两个量之间的关系，如按比例分配、溶液的浓度等）；二是比率（刻画异类两个量之间的关系，如路程与时间、总价与数量之间的关系）。台湾版教材中用“对等关系”来刻画“比”，并将这种对等关系更加细致地划分为四种类型：

（1）组合：一组亲子游戏中三个小孩，需要两个大人来协助；（2）母子：一打衬衫有12件，其中4件是蓝色的；（3）交换：小华拿了135本杂志到图书馆换了9本小说；（4）密度：30立方厘米的水重30克。传统教材中的“概念” （确切地说是“定义”）多是以“黑体字”的形式呈现，凡是“黑体字”就是教师授课时要再三强调的，也是需要学生必须记住的，新课改后的教材取消了“黑体字”，而代之以多样化的情境抽象出“概念”的过程，是符合数学概念的发展顺序，更加符合儿童概念学习和理解的认知规律的。正如杜威指出的：只有当他具备了和意义有实际联系的某些情境的经验，他才能掌握这些符号的意义。如果仅以文字来推演意义，而与事物没有关联，文字就会失去可理解的含义。因此，呈现多种现实情境，对帮助学生全面而深刻地理解“比的意义”是大有裨益的，这也是不同版本教材均呈现多样化情境的目的所在。

二、“概念”需揭示事物的本质特征

对课堂上学生的表现教师深感困惑：为什么学生会对比与除法之间如此明显的关系“视而不见”？我们对前述教师课堂上学生的反应进行一个回放。

情境1：第一次试讲。教师引导学生列出几种数量关系之间的除法算式。

（1）一面长60厘米、宽40厘米的国旗，长与宽之间的关系怎么表示？长是宽的几倍：60除以40， 也可以写成60比40。（2）一列火车2小时行驶了500千米，速度是多少？500除以2，也可以写成500比2。路程除以时间=速度。（3）买4斤苹果花了20元，苹果的单价是多少？20除以4，也可以写成20比4。总价除以数量=单价。在作了这些铺垫后询问学生：“什么是比？”本以为学生会很顺利地回答出“比”的定义，却发现没有一个学生能够回答这个问题，于是教师直接给出“两个数相除又叫做两个数的比”这一定义。课后教师在反思时谈到，学生之所以回答不上来，是因为自己没有反复强调和勾连“除法”与“比”之间的关系。于是在第二次试讲时，教师将重点放在了联系二者的关系上。

那么比到底是什么？作为数学名词，目前看到的有如下三种不同的解释：（1）比是表示两个量倍数关系的记录（1999年版《辞海》）；（2）比是表示两个数相除关系的记录（大陆小学数学教材）；（3）比是表示两个量对等关系的记录（台湾小学数学教材）。王永老师指出：比源于度量，比能够解决物体不可度量的属性的可比性，这才是比的本质。

参考文献

[1] 李立新.影响小学数学概念教学的关键因素探讨[J]. 数学学习与研究. 2013（24）

[2] 郑小龙，周国平. 小学数学概念教学的引入策略[J]. 现代中小学教育. 2011（03）

[3] 吴晓红，宋磊，张冬梅，束艳. 什么是有效的合作学习——基于“米的认识”的解读[J]. 课程·教材·教法. 2012（08）

[4] 蒲淑萍，汪晓勤. 数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例[J]. 课程·教材·教法. 2012（08）

小学数学教学中的抽象 篇6

关键词：小学数学,抽象思维,培养途径

在小学阶段有大量的计算教学，如何由算理的直观上升到算法的抽象应该是计算教学中永远要研究的问题。从认识过程来看，学生对问题的思考和解决通常分为两个阶段：感性认识和理性认识阶段。感性认识，即形成感觉、感知和表象的阶段，是对事物认识的低级阶段。理性阶段，即对表象进行概括和抽象而形成概念的阶段。表象是感知的保存和再现，表象是感性认识和理性认识的中介和桥梁。数学给予人的抽象概括能力，可以使人有条理地在简约状态下进行思考。所以在教学中：

一、要重视形象思维

在教学中教师要尽可能地运用形象教学。形象思维能促使学生的心理活动更加丰富，有助于他们更深刻地认识事物的本质和规律。研究表明，富有创造性的学生形象思维一般能达到较高水平。“火车过桥”问题是学生很难理解的一类行程问题，记得在教学时我信手拈来，很自然恰当地运用了教室里现在的物品进行操作演示：把讲台当做桥，一把米尺当成火车，来演示火车过桥，我先让学生理解“过桥”并进行演示，通过演示明确“车头上桥到车尾离桥”才叫“火车过桥”，接着再弄清火车过桥所行的路程，通过演示学生很容易明白火车过桥所行的路程就是桥长加车身的长度。直观可以让抽象的语言文字变成看得见的形象，可以降低学生思维的难度，可以帮助学生很好地理解知识、建构知识。

二、要引导学生学会逐步的抽象

首先教师在教学中要注重培养学生的抽象思维能力。抽象只有摆脱具体形象，才能使思维用算法化的方式得出新的结果。其次抽象除了可以使思维概括、简约、深刻以外，还有发现真理的功能。所以教师还要指导学生用抽象的方法解决问题。在学习中可以表现为由原型匹型到抽象提升，如六年级有这样一类题：“一批布，做上衣可做20件，做裤子可做30条，这批布可做多少套衣服？（一套衣服是一件上衣和一条裤子）”“体育委员为班组购买文体用品。他带的钱正好可以买15副羽毛球拍或24副乒乓球拍。如果他已经买了10副羽毛球拍，那么剩下的钱还可买多少副乒乓球拍？”这些题都可以抽象成工程问题，通过抽象的方式解决。

三、要重视表象的作用

表象是人脑对当前没有直接作用于感觉器官的、以前感知的事物形象的反映。它不仅具有具体形象性，还具有一定的概括性。它不但反映个别事物的主要特点和轮廓，而且还反映一类事物的共同表面特征。表象的基础是感知，所以教师要尽可能地丰富学生的感知，要运用观察、操作、实验等多种形式，调动学生的多种感官参与感知。在上述教学事例中，借助表象思维进行10以内的加法计算和两位数加整十数、一位数的计算，它的前提是学生必须有丰富的感知，头脑中有相关的图形表象，否则就很难进行。表象思维是感性认识和理性认识的桥梁，教师要重视表象思维在形象思维向抽象思维上升过程中的作用。

四、形式运算

有这样一道题：“一个正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是正方体体积的百分之几？”学生1的解法是：假设正方体的棱长为6厘米，那么圆柱的底面直径和高都是6厘米。π×（6÷2) 2×6=54π（立方厘米），6×6×6=216（立方厘米），54π÷216=π÷4=78.5%。学生2的解法是：所正方体的棱长看成a。π×（a÷2) 2×a=πa2/4×a=πa3/4（立方厘米），a×a×a=a3（立方厘米），πa3/4÷a3=π/4=78.5%。两种方法都得到了正确答案，但是第一种是通过举具体的数据进行运算，第二种则是用字母代替数进行运算，即参数法。显然第二种方法具有更高的抽象水平，也更具有概括性。但是能想到第二种方法的学生只有六七个。

小学数学教学中的抽象 篇7

一、使用学具, 有助于促进学生正确感知数学概念

心理学研究表明, 儿童认知规律是“感知———表象———概念”, 而操作学具不仅符合这一规律, 而且能变学生被动地听为主动地学, 充分调动学生的各种感官参与教学活动, 获得感性知识, 形成知识的表象, 并诱发学生积极探索, 从事物的表象中概括出事物的本质特征, 从而形成科学的概念.

如在教学“平均分”这个概念时, 可先让学生把10个红果图片分成两份, 通过分图片, 出现四种结果:一人得1个, 另一得9个;一人得2个, 另一人得8个;一人得3个, 另一人得7个;一人得4个, 另一人得6个;两个人各得5个.然后引导学生观察讨论:第五种分法与前四种分法相比有什么不同?学生通过讨论, 知道第五种分法每人分得的个数“同样多”, 从而引出了“平均分”的概念.这样通过学生分一分、摆一摆的实践活动, 把抽象的数学概念和形象的实物图片有机地结合起来, 使概念具体化, 使学生悟出“平均分”这一概念的本质特征———每份“同样多”.

又如, 在教学“分数的初步认识”时, 首先应通过各种演示和操作活动, 使学生初步感知“几分之一”.紧接着让学生拿出“分数的认识”图卡, 动手折一折:把一张等腰三角形纸片对折, 平均分成2份, 把一张长方形纸片平均分成3份, 把一张正方形纸片平均分成4份, 把一张圆形纸片平均分成2份、4份、8份……折完之后, 把其中一份涂上颜色, 想象其中的一份与整体之间的关系.这样, 学生在折纸的过程中, 加深了对平均分的认识, 在涂颜色的过程中, 理解了部分与整体的关系, 理解了分数的意义.由于教学是在学生借助学具的直观操作中理解单位“1”的含义, 然后抽象出分数的意义, 遵循了儿童的认知规律, 降低了理解上的难度.

二、使用学具, 有助于学生充分理解算理

理解和掌握算理是学好小学数学的必要条件之一, 如运算的规则、方法和有关计算等.此外, 还有一些与数学相关的算理.如何让学生理解这些抽象的算理, 如何将算理纳入学生的知识结构中去呢?学具的作用是不可忽视的.

如在教学“20以内的退位减法———十几减9”时, 教师设置这样的情境:小兔子的菜园大丰收, 小兔子要卖15根胡萝卜, 小猴子来买走9根, 问题是:小兔子还剩几根?教师引导学生用操作学具也就是摆小棒的策略来解决问题, 请你用15根小棒来代替胡萝卜, 小猴子要买走9根, 如果你是小猴, 你怎么拿走9根.你能不能把这个过程摆一摆?学生们想出了多种拿法, 如有的学生先拿走边上的5根, 再接着拿走整捆里的4根, 还有的学生是直接从整捆中一下子拿走9根.学生们通过摆小棒, 加深了对15减9的算法的认识, 有助于进一步理解20以内退位减法的基本算理———破十法.

又如在教学用一位数除两位数, 商是两位, 十位上除后出现有余数的情况时, 如42÷3, 学生难以理解的是十位上余下的几个十要和个位上的数结合起来继续除.如何突破这个难点?也可采用摆小棒的方法, 让学生在动手的过程中体会:4捆 (4个10) 平均分3份, 每份是1捆 (1个10) , 十位商1;剩下1捆表示1个10, 要继续平均分只能拆开1捆和2根合并成12根, 再平均分3份, 每份是4根 (4个1) , 个位商4.通过摆小棒体会剩下一捆为什么要继续平均分, 怎么分, 使学生感知有余数的除法继续除的算理, 以此让学生把动手操作活动和竖式相对照, 数形结合, 在操作中从形的方面进行具体思考后逐步过渡到数的方面进行思维, 从而较为深刻地理解了算理.

三、使用学具, 有助于学生深刻体会数学思想方法

加强数学思想方法的渗透, 是突出数学本质, 提高数学能力的重要组成部分.如数形结合, 对应、集合的思想, 估计意识以及分析、综合、转化、归纳、类比等基本思考方法, 这些数学思想方法都是发展学生数学思维能力, 提高学生数学素质不可缺少的金钥匙.在小学数学教学中, 进行数学思想方法的渗透是非常必要的.充分利用学具, 可有助于加强数学思想方法的渗透.

又如在教学“分类”时, 教师首先让学生拿出课前已准备的自己最喜爱的东西:有玩具如汽车、坦克、手枪、娃娃等, 有学习用品如文具盒、铅笔、橡皮、格尺等, 还有水果图片如苹果、梨子、香蕉、桔子等.教师提问:“同学们都带来了这么多好玩、好用、好吃的东西, 应该怎样分类呢?”学生们兴趣盎然, 各抒己见.生1:把同样的东西放在一起;生2:摆整齐;生3:把好玩的放在一起, 好用的放在一起, 好吃的放在一起.教师抓住这个有利时机, 引导通过小组合作把带来的东西进行分类, 并说明分类根据, 总结分类的方法.操作完后, 各小组代表汇报结果, 把带来的东西分成了3类, 玩具、学习用品和水果在学生回答分类理由和方法时, 教师适时引导, 及时地给予肯定和评价.教师再进一步引导, 除了这么分, 还有没有别的分类标准呢?生动脑思考, 各小组操作完后, 小组代表汇报结果.生1:我们是按照颜色分的.生2:我们是按照大小分的.这样学生们通过动手实践与合作交流, 充分地掌握了分类的思想方法.

小学数学教学中的抽象 篇8

关键词：Sylow定理,群的表示,正规群

《近世代数》是现代数学的代数学基础, 其之于现代数学相当于线性代数之于高等数学. 对于大学数学专业本科生而言, 这门课程无疑是非常重要的. 然而作为现代代数学所包含的最主要的两大思想: “表示的思想”和“同调的思想”, 却很少被包括在本科抽象代数教学之中. 特别是表示的思想, 其将抽象问题具体化的作用可以第一时间降低初学者对抽象概念的畏惧, 增强对现代代数学方法的感性认识. 然而长久以来, 这一内容却很少在数学专业本科代数学核心课程中有所体现. 实际上, 表示的思想最初已经蕴含在数学专业本科生近世代数课程内容: Sylow定理的证明中了. 但是教学内容在此戛然而止, 没有上升到表示的方法和应用层面, 从而使学生感觉到Sylow定理虽然有着强有力的应用但是没能体会到该定理成立的本质, 更不能继续发展这一定理的深刻内涵, 应用也仅能局限在对一些特殊群的计算上. 本文将介绍针对大学数学专业本科《近世代数》教学内容中体现表示的思想及基本方法的点滴认识, 以及本人在教学中渗透和介绍表示思想方法的一些尝试.

一、Sylow定理和群的表示

Sylow定理和群的表示

Sylow定理是有限群的置换表示的基础, 同时也是群表示理论最原始的体现. 实际上, 在本科近世代数有关Sylow定理的证明中就已经引入了“表示”的思想和方法, 只是这种表示是局限于群对特定集合的作用. 具体的, 我们看一下该定理的证明:

Sylow定理

第一定理: 设G为群, | G| = mpn, 其中p为素数, p和m互素, 则群G一定有pn阶子群H.

第二定理: 设G为群, 则群G的Sylowp - 子群皆共轭, 即在内自同构作用下属于同一轨道.

第三定理: 设G为群, | G| = mpn, 其中p为素数, p和m互素, 设G的Sylowp - 子群的个数为r, 则有

Sylow定理的一种较为简单的证明是利用群G作用在一定的集合上, ( 定理一是作用在集合上; 定理二和定理三第一部分是作用在全体Sylow子群的集合上; 定理三的第二部分是作用在Sylow子群的陪集组成的集合上) , 然后通过计算这些作用后的轨道及稳定子群指标并结合集合本身的指标信息从而得出关于Sylow子群存在和个数的信息. 这一证明中实际上已经体现了群表示的思想: 给定一个抽象的群G, 由于其抽象的“不可见性”, 对于其子群等性质很难把握. 所以我们令其作用在一个集合上, 通过计算和分析作用后的轨道等信息反过来得到关于抽象群G的信息. 简单地说就是通过将抽象群G表示为一个在集合上的作用, 使得“不可见”的抽象群G的信息通过“可见的”集合轨道等表现出来.

一方面, 一般情况下我们当然趋于使用具有一定群结构的“表示元”来表示抽象的群G.

另一方面, 我们自然应当取相对已知群N对未知群G进行“表示”. 相对来说, 最一般已知的群有两个: 置换群Sn和一般线性群GLn.

如此, 当我们构造了一个群G在有限集合S上的作用:g∈G, φ ( g) s∈S以后. 一种方法是我们可以把这种作用当成是S上的元素的置换, 从而上面的作用就等价于一个群的同态 φ: G→Sn, 其中n = | S| . 另一种方法是首先以S中元素为基构造一个复的 ( 或实的) 线性空间Cn. 这时, 任意g的作用自然诱导出Cn上的一个可逆线性变换, 这显然还是一个一一对应. 于是上面的群作用等价于一个群同态 φ: G→GLn ( C) ( 或GLn ( R) ) 其中GLn ( C) ( 或GLn ( R) ) 为C ( 或R) 上一般线性群.

由此我们有了群表示的概念:

群的表示:

给定群G和置换群N ( 或一般线性群) , 任意群同态 φ:G→N称为一个群G的一个置换表示 ( 或线性表示) .

进一步地, 由于置换群本身是有限群所以针对一般的无限群 ( 即便是对按拓扑有限的紧群这一观点显然也是站得住脚的) 可想而知其“表现”能力也是“有限”的, 所以关于群表示理论更一般的是线性表示理论 ( 当然, 这里面还有一个原因是相对一般线性群GLn而言, 一般置换群Sn则明显还不够“已知”. 要知道, 如果把所有有限群都自然的看作一般置换群的子群的话, 对于一般置换群的完全的“已知”也就蕴含了对于所有有限群的“已知”, 这一点对当今数学来说还是个巨大的未知数. 要知道仅仅是有限单群的完全分类还是上世纪末才刚刚完成, 况且这种分类本身很大一部分还是基于一般线性群来实现的. 而相对地, 一般线性群则有更加丰富的“已知”理论可以使用, 例如: 线性代数! ) .

二、置换表示的应用———小Sylow子群的计算

( 一) S4的所以Sylow子群

借助于表示的思想和方法, 我们就可以分析一些看似抽象的有限群的性质. 例如我们可以利用置换表示求出4阶置换群的所有Sylow子群:

基本思路是利用一个4 阶置换群S4的3 阶置换群S3表示, 从而由比较简单的3 阶置换群S3的信息来实现计算.具体地

对4 阶置换群S4我们有:

是4阶置换群S4的正规子群;

H是S4的所有Sylow 2-子群的交;

S4的所有Sylow2-子群为

首先, 根据Sylow定理和置换群的基本性质我们知道S3有一个正规的Sylow 2 - 子群. 给定4 阶置换群S4, 由Sylow第一定理我们知道其总存在Sylow 2 - 子群 ( 阶数为2 × 4 =8) , 取为G. 由于G的指数为3, 故其左陪集全体构成一个3元集合S = { G, a1G, a2G} , 当然, 这里我们可以取a1为一个3 阶元. 令S4通过左乘作用在这个3 元集上, 由此得到一个S4的S3表示, 即一个群同态 φ: S4→S3.

分析这个表示有:

1. 由于 φ ( a1) 是三阶的, 得到该同态是非平凡的且像 φ ( G) 至少是3 阶群;

另一方面, 如果像 φ ( G) 确实是3 阶的, 则同态 φ 的核H为S4的一个8 阶子群, 且H正规. 取S4的唯一的正规Sylow3 - 子群P, 则显然HP为一个24 阶群, 且由H, P都正规得到HP是直和. 故HP = S4中至少有一个6 阶元, 但是我们知道这个是不存在的, 即像 φ ( G) 是2 × 3 = 6 阶群. 故我们有:

2. 该同态为非平凡满的, 核是一个S4的4 阶正规子群;

设h∈H, 则由于 φ ( h) 为恒等置换, 故对于任意G的共轭类g Gg- 1, 有 φ ( h) g G = g G, 即存在g' ∈ G, 使得h =gg'g- 1. 故H包含在G的全体共轭类的交之中;

反过来, 若有h'属于G的任意共轭类, 则对于任意aiG, 由于h'∈aiGai- 1, φ ( h') aiG = aiG, 即h'属于核H. 综上, 我们有:

3. 这个同态的核是Sylow 2 - 子群G的所有共轭类的交 ( 根据Sylow第二定理, 这也是S4的所有Sylow 2 - 子群的交) ;

若H中有4 阶元h, 即H为4 阶循环群, 取S4得唯一的正规Sylow3 - 子群P, 则显然HP为一个12 阶循环群. 但是我们知道S4中是没有12 阶元的. 由此我们有:

4. H中任意非平凡元都是2 阶的;

进一步地, 若H中包含一个对换, 则由对换之间的共轭性有H包含所有的对换, 共6 个. 但这与| H | = 4 矛盾. 由此我们得到

5. S4中如下的4 个元{ ( 1) , ( 12) ( 34) , ( 14) ( 23) , ( 13) ( 24) } 必构成一个子群, 即为S4的正规子群H.

6. 进一步地, 我们可以计算出S4的所有Sylow 2 -子群;

取S4的所有兑换{ ( 12) , ( 13) , ( 14) , ( 23) , ( 24) , ( 34) } , 我们知道相交的兑换不能同时属于同一个Sylow 2- 子群中 ( 否则将有3 阶元) . 故 ( 12) , ( 13) , ( 14) 属于不同的Sylow2 - 子群. 另一方面, 由上分析有任意Sylow 2 - 子群都包含正规子群H, 由此得到S4的所有Sylow2 - 子群为:

综上, 我们利用一个相对已知的群S3来表示未知的置换群S4, 从而得到S4的所有Sylow子群等信息.

( 二) S5的所有Sylow子群

进一步地, 我们可以做的更复杂一点儿, 求出5 阶置换群S5的所有Sylow子群.

考虑到求解过程中真正用到置换表示的只有Sylow3 子群的求解, 所以这里我们只讲一下Sylow 3 子群的求解 ( Sylow 2 子群的求解是利用4 阶置换群S4在S5中的5 个天然的嵌入, 每个有3 个Sylow 2 子群, 共计15 个Sylow 2 子群)

由Sylow定理知道Sylow3 子群的个数可能的情况有1、4、10、40个.

1. 若只有1 个, 即Sylow3 子群HS5正规, 则可以用这个正规子群乘任意Sylow5 子群, 得到一个15 阶的循环群, 但是这在S5中显然是不可能的.

2. 同时, 直接计算有S5中最多有20 个不同的3 排列, 故S5中不可能有40 个不同的Sylow3 子群

3. 若有4 个Sylow3 子群H1, H2, H3, H4, 由Sylow定理知道它们是共轭的. 令S5通过共轭作用在集合S = { H1, H2, H3, H4} 上, 得到一个S5的S4表示, 即群同态 φ: S5→S4. 注意到这个同态的核是所有4 个Sylow 3 子群的正规化子的交, 且必有令H1的正规化子为N, 则有5| |N|, | N | | (5!) , 故N中必包含Sylow5 子群T, 且H1在N中正规.取子群H1T, 知其为| H1T | = 15 阶群, 必为循环群. 但是这是不可能的.

故S5中有10 个Sylow3 子群, 恰好是C53, 即3 组合的个数. 当然这个观察也帮助我们写出这10 个不同的Sylow3子群.

最后, 看一个更为直接的例子:

( 三) 255 阶群G一定是循环群

由于有255 = 5 × 3 × 17, 则根据Sylow定理, 只有一个正规的Sylow17 - 子群, 令其为H17, 故当G中元素通过共轭作用到H17上时, 实际上定义了一个群G到H17的自同构群的表示. 另一方面, 我们知道H17的自同构群Aut ( H17) 共有16个元| Aut ( H17) | = 16. 于是, 表示 φ: G→Aut ( H17) 的像的阶数整除16, | φ ( H17) | |16. 但是, 我们有256 与16 互素, 故只能有 φ 是一个平凡表示. 即G的任意元素都与H17的元素相交换. 于是H17包含在群G的中心中. 另一方面, 商群因为是15 阶群, 一定是循环群. 所以群G模中心的商群是循环群, 得到群G必然是交换群, 故而是循环群.

这个例子中我们利用已知的置换群S3, S5的信息, 通过构造一定的表示得到关于阶数为255 的抽象群 ( 考虑到这个群除了满足群的基本定义以及阶数为255 以外我们对其一无所知, 可以说的确是足够抽象的了) 的具体结构.

实际上, 群的表示适用于非常广泛的抽象群的计算和论证, 有兴趣的读者可以尝试利用置换表示证明如下关于抽象群的性质. 同时上面第二个例子也可以推广到更为广泛的群上而不是仅限于255 这个具体的数据. 关于这一点可以参考文献[1][2].

三、置换表示的应用———抽象群的计算

以下是Sylow子群定理, 我们借助群的置换表示给出一个初等的证明.

设群G的阶数为为有限个素数的乘积, 且这些素数满足互素.则群G为循环群.

证明:

对n做归纳假设

易知, n = 1 或2 时命题成立, 假设n ≤ k - 1 时命题成立, 往证n = k时成立.

取G的换位子群G', 则有三种情况

a) G'=1

此时G交换, 故循环

b) G'是G的真子群

由归纳假设, 此时G' 交换. 另一方面, 由于G' 正规可以利用G共轭作用在G' 构造G到G' 的自同构的表示. 由于与得到, 这个表示的核为 G, 故 G' 包含在G的中心内. 又根据归纳假设G/G'循环, 所以 G 交换, 进而是循环群.

G'=G, 我们证明这种情况实际上是不存在的

根据归纳假设, 此时G没有非平凡的正规子群.

取任意Sylow P1- 子群Hp1, 设其共轭类共有 μ1个, 由Sylow定理知道, 不妨设, 知道此时Hp1的正规化子阶数为. 则由归纳假设知道NG ( Hp1) 必是循环群.

我们知道, NG ( Hp1) 的共轭类两两相交为单位群. 这是由于若有

( 其中是Hp1的某个共轭类, 是某个Sylow P1-子群)

则若有Pj| | K | , Pj∈ { P1, Ps +1, …, Pk} , 则必有某个Sylow Pj- 子群的正规化子包含NG ( Hp1) 和.由归纳假设, 这个正规化子群是交换群, 于是在这个子群中只有一个P1- 子群, 故矛盾. 由此我们知道, NG ( Hp1) 的共轭类两两相交为单位群, 且共有个, 于是这些群的并共有不同的元素数为

又取某个Sylow P2- 子群Hp2, 取他的正规化子NG ( Hp2) 的阶数| NG ( Hp2) | , 知道| NG ( Hp2) | 与互素. 否则, 将有某个Sylow Pl- 子群Hpl及其某个共轭类h Hplh-1满足, Hpl NG ( Hp2) , h Hplh-1 NG ( Hp1) .

第二个公式告诉我们Hpl NG ( h Hp1h-1) , 于是有h Hp1h-1 NG ( Hpl) ; Hp2 NG ( Hpl) , 从而有Hp2NG ( h Hp1h-1) , 但是根据前面的分析有NG ( h Hp1h-1) 的阶数为不能被P2整除, 故得到| NG ( Hp2) | 与互素.

于是, 不访令, 其中.同时, 由与上面的分析类似的我们知道NG (Hp2) 的共轭类共有个, 且他们两两相交为单位群.故这些群的并共有不同元素个数为

且由于互素, 这些元素不属于NG (Hp1) 的共轭类的并.于是, 根据等式 (1) 和 (2) 这两类元素个数和为

故矛盾.

四、小结

通过以上一些例子我们看到, 在加入群的表示的思想和方法后, 原来零散的、构造性的证明被系统的理论方法取代. 同时, 这样也有利于学生第一时间感受和学习现代代数学的思想和方法.

参考文献

[1]抽象代数;李超, 谢端强, 冯良贵;国防科技大学出版社;2008.9.

小学数学教学中的抽象 篇9

由于《C语言程序设计》在培养学生程序设计能力方面具有非常重要的作用[1], 许多高校的计算机专业和其它理工类专业都把它作为一门基本的编程语言课程。但是学好《C语言程序设计》是非常困难的事[2,3,4], 特别对初学者来说, 有时写一个简单的程序, 也不知从何下手[8]。因此迫切需要探索新的教学方法, 以帮助学生学好该课程。

已有许多文献对C语言教学方法进行了探讨。杜燕萍等[2]指出了在C语言程序设计中的一些难点内容;林淑玲[3]探讨了C语言程序设计中存在的一些问题, 指出了教学方法的多样性;刘明才等[4]讨论了C语言程序设计考试方法的改革;张敏霞等[5]分析了C语言程序设计课程初学者的特点;孟朝霞[6,7]探讨了C语言程序设计课程教学中思维能力的培养;吴文虎[8]认为对于C语言程序设计初学者来说, 从实际问题形式化为机器能够处理的表达式是一个大难题;Jeannette[9]提出计算思维观点, 认为计算就是抽象的自动化, 计算思维最本质的特征就是通过对问题的抽象建模, 但没有讨论如何依据抽象建模的方法来降低程序设计的学习难度。

针对《C语言程序设计》学习难度较大以及缺乏较好的教学方法来降低初学者的学习难度, 本文提出了迭代抽象的教学方法, 它通过不断迭代问题抽象—抽象自动化—模拟三个步骤的, 最终获得正确的程序;并以循环程序设计为例, 探讨了迭代抽象方法在《C语言程序设计》教学过程中的应用模式。教学实践证明, 该方法能有效帮助学生学好《C语言程序设计》课程。

一、迭代抽象方法原理

抽象就是找出事务的重要特征、过滤或忽略非本质的细节, 从而简化问题的求解。迭代抽象法是先抓住问题的最本质特征, 然后逐步加入问题细节, 最终实现对问题的完全理解。在程序设计中, 迭代抽象法可形象地用图1描述:

在图1中, “抽象分析问题”要求看懂题目意思, 理解题意, 尝试提出问题的数学模型。“写出程序框架”是对前一步思考结果自动化, 即使用选择结构还是循环结构;而选择采用哪种控制结构应该是一个比较直观的问题, 因此, 写出程序框架不仅是可能的, 而且是学生水平可达到的。在写程序框架时, 需要隐藏细节, 因此以“?”表示未知细节, 为这一步的完成降低了难度。后续的步骤就是如何来将这些“?”替换成程序代码。“细节问题抽象”和“抽象自动化”就是针对程序框架的每个“?”提出相应解决方法;“验证是否正确”就是将相应解决方法的代码替换程序框架中的“?”后, 试着人工执行程序, 看是否与要解决的问题相符, 如果相符, 就可以继续下一个关键问题;否则, 要完善相应解决方法, 直到通过验证为止。这样一个一个关键问题地解决, 直到问题中所有关键问题都解决完为止, 此时, 一个完整的程序代码也就已经得到了。

在迭代抽象过程中, 通过对问题的抽象分析, 并采用C语言的三种程序控制结构表示出这种抽象, 从而得到程序的框架。得到程序框架后, 就有了一个思考的范围, 因而, 缩小了问题的规模, 同时学生的学习认知或思维活动就有一个具体的目标。在解决一个个具体的目标时, 还反复地比较判别问题的解法是否正确, 符合一般学习者的思维习惯, 同时也传授了一个判断自己写的程序是否正确的方法, 而不一定要等到运行程序, 发现错误时再来纠正。同时, 在这个不断判断自己加的代码是否正确的过程中, 也强化了学生对代码的理解。因此, 按抽象建模法的方法, 学生的学习过程, 并不仅仅是接受已有结论, 而是一个不断理解问题, 表达问题, 并不断验证表达是否正确的过程。

二、抽象建模法的应用

2.1问题描述

在教学过程中, 讲解完循环结构关键字与语法分析后, 通过例举一些稍微复杂的程序设计的例子, 使学生掌握利用循环结构写程序的方法。例如在教学过程中采用下面的例子来演示循环程序的编程方法:

例:用 公式求π的近似值, 直到发现某一项的绝对值小于10-6为止。

2.2第一次抽象—列出循环结构

为理解题目意思, 将公式右边分拆为一些项:1/1, -1/3, 1/5, -1/7, 1/9, …。试着用变量表示:设分母为n, 则该项为1/n或-1/n, 公式左边也用变量表示:pi。

那么很容易发现, 这是一个将右边各项相加的问题, 类似于1+2+3+…+100的问题, 因此, 是一个求和问题, 因此需要一个累加器 (用sum表示) , 一个计数器 (也就是前面定义的n) 。试着写出程序框架如下:

在对实际问题进行抽象时, 最先需要使用字母代表变化的数据量, 从而得出实际问题的数学模型;然后按照相应数学模型, 得出基本程序框架。如本题经过抽象分析, 得出该题属于累加求和问题, 从而得出程序基本框架:累加。

在程序框架中, 凡是一时不知道如何表达或写出来的都以问号“?”暂时代替, 这些出现问号的地方应该是写程序的难点或关键地方。从上述程序框架来看, 主要问题就是:1) 循环表达式应该如何写?2) 循环体中除了累加, 后面的操作应该做什么?

2.3循环操作的第一次细化--循环条件表达式

题目中有一句“直到发现某一项的绝对值小于10-6为止”, 这一句提示我们循环条件表达式与项的绝对值有关。

为此, 引入新变量term, 表示一个数据项, 不难看出, term=1.0/n或-1.0/n;项的绝对值可用数学函数fabs (term) 求得。

“直到发现某一项的绝对值小于10-6为止”意即在项的绝对值大于或等于10-6时应该继续累加项, 从而得到循环条件表达式为fabs (term) >=1e-6, 其中, 1e-6是10-6在C语言中的科学计数法的表示, 从而可将程序框架修改如下:

2.4循环操作的第二次细化--修改term

查看这些数据项, 1/1, -1/3, 1/5, -1/7, 1/9, …。后一项的分母总是前一项的分母加2, 分子都为1, 符号正负交替出现。

为此, 想到term=1.0/ (n+2) ;将这个表达式代替程序框架中的?, 得到如下程序:

对不对呢?试着执行一下循环:

2) 程序跳到while, 再次计算循环表达式的值, 仍为真, 两次进入循环, sum=1+1/3, 发现符号不对。另外更严重的问题是:在循环体中由于没有修改n的值, 从而term的值也没有被修改, 所以循环将一直执行下去, 变成一个死循环。

为此, 需要在循环体内修改n的值, 将程序修改如下:

再次执行循环, 重点是检查数据项是否会在循环体中改变:

1) n=1, 进入循环, sum=1, n=3, term=1/3;

2) 程序跳到while, 再次计算循环表达式的值, 仍为真, 进入循环, sum=1+1/3, n=5, term=1/5, 从而发现数据项在循环体内被修改。

因此, 最后剩下的问题是如何修改符号, 使正负号交替出现。

2.5循环操作的第三次细化--正负号交替出现

在讲解进行到这一步时, 教师要给出使正负号交替出现的方法, 不需要再花过多的时间来讨论如何做。

为使正负号交替出现, 定义一个整型变量sign=-1, 程序作如下修改:

再次执行程序:

1) n=1, 循环表达式的值为真, 进入循环, sum=1, n=3, term=-1/3, 好象与公式右边符合了;

2) 程序跌到while, 计算循环表达式的值为真, 进入循环, sum=1-1/3, n=5, term=-1/5, 这时又与公式右边不符合了。

为此, 需要将sign进行修改, 以备下次符号再次改变:

再来执行一下程序:

2) 第三次循环时, sum=1-1/3+1/5, n=7, term=-1/7;

3) 再多执行几步, 发现所得各数据项与公式右边完全一样, 因而, 程序应该没有问题了。

最后是完善如输出等语句, 得到完整的程序 (省略) 。

三、比较实验

为将这种新方法与传统的先算法后程序的教学方法作对比, 我在两个班分别采用两种教学方法来讲授C语言循环程序设计。两个班的学生都没有计算机编程经验, 人数也大致差不多, A班52人, B班54人。A班采用抽象建模法讲授, B班采用传统方法讲授。讲解完上述例子后, 布置了相同的上机练习题:

他们可相互讨论, 可课后完成。完成的作业通过一个程序练习在线系统提交。下面是提交结果统计:

从上述数据看, A班提交率为45/52=86.5%, B班提交率为27/54=50%;从提交结果是否正确来看, A班有69%的正确率, B班在提交的人中正确率为48%。

查看提交错误的源代码, A班都正确地选用了循环结构, 循环体操作基本正确, 错误部分主要是循环条件表达式;B班提交错误的源代码中, 循环体操作不正确的有5人, 循环结构选用错误的有3人, 循环条件表达式错误的有4人。

课后与学生沟通, A班未提交代码的学生说, 他们对于循环结构是知道的, 但应该如何写循环体操作不清楚, 或不知道如何写循环条件表达式, 还有些是因为变量定义错误;B班未提交的学生中, 大部分不清楚算法该怎么写, 因而都在写算法这个地方遇到困难, 甚至根本不知道应该如何着手来写这个程序。

四、结束语

现代教学理论强调教学过程中, 学生是主体, 教师为主导。这个主导作用反映在教学活动的组织, 教学内容的安排。为更好地发挥教师的主导作用, 需要按照主体的认知习惯引导主体学习并理解和接受新内容。这实际也是结构主义教学观的要求, 是认知学派的基本原则。皮亚杰认为, 认识既不发端于客体, 也不发端于主体, 而是发端于联系主体、客体的动作 (活动) 之中, 活动的我就在于它是主体、客体的相互作用的过程[8]。中国古代的教学观认为“授人以鱼, 不如授人以渔”, 其实强调地就是将思维的方法传授给学习者。迭代抽象法就是依据学生对编程问题的理解从大的框架逐步深入细节的认识过程安排的, 按照学生对问题由浅入深的认识了解过程, 根据计算思维的基本观点, 逐步得到对问题的可自动化处理的抽象描述, 符合学生的认知习惯, 因而教学内容易于为学生所接受。

这种迭代抽象方法不仅可用于讲授C语言循环程序设计, 也可用于C语言中函数的讲授。只要根据问题类型适当加以调整, 这种教学方法也可用于讲授那些需要进行构造与设计的课程内容, 当然所依据的模板 (如C语言循环程序中的循环控制结构) 也是有所不同的。

摘要：在《C语言程序设计》学习中, “听得懂, 但不会写”是大多数学生遇到的问题。迭代抽象的教学方法首先对实际问题进行抽象建模, 将抽象模型用C语言程序框架表示;然后分析问题, 依次解决抽象表示中的每个关键难点, 并在每步都采用人工执行的方法来验证代码的正确性, 最后得出抽象的自动化处理的描述。教学实践结果表明, 这种方法具有更好地教学效果。

关键词：计算思维,程序设计,循环结构

参考文献

[1]谭浩强.C程序设计 (第四版) [M].北京:清华大学出版社, 2010.6:131-135.

[2]杜燕萍, 乔沛荣.C语言教学方法探讨[J].计算机与现代化, 1998 (03) :32-36.

[3]林淑玲.C语言程序设计教学探讨[J].科技经济市场, 2007 (9) :28-30.

[4]刘明才, 牟连泳, 辛慧杰.C语言程序设计课程教学改革研究[J].中国校外教育 (理论) , 2009 (8) :1170.

[5]张敏霞.程序设计语言课程教学方法改革的探索与实践[J].中国高教研究.2004 (2) :103-105.

[6]孟朝霞.C程序设计课程项目教学改革的问题及思考[J].运城学院学报, 2011 (4) :85-88.

[7]孟朝霞.应用能力为核心的C程序设计课程分层培养教学模式[J].运城学院学报, 2012 (5) :91-93.

[8]吴文虎.我怎么讲好“程序设计基础”这门课.中国大学教学, 2011 (12) :9-12.

浅谈抽象性在数学教学中的应用 篇10

【关键词】抽象性 数学教学 应用

数学学科的一些基本特点当中，抽象性是最具代表性的一个，基本上所有的数学知识都是之前的专家和学者通过抽象得来的。我们在学习数学学科的时候，不仅仅是学习那些已经知道的公式和定理，更应该要学习如何利用抽象去得到这些数学知识的方法。在数学教学过程中，了解如何运用抽象进行教学，使学生可以更好的掌握和理解数学知识，才是数学教学过程当中的重点和难点。

抽象是数学的基本特点之一，也是我们学习数学知识最基本的思维方式。在数学的学习过程当中，我们要利用抽象性的思维方式去理解和掌握一些空间、几何平面和数量关系，找到学习数学的最基本方法。

其实，抽象一词最早的时候是来源于一个拉丁语，最开始的意思就是排除、抽取。而我们现在对抽象的理解就是那种看不见、摸不到，只能靠自己去想象的东西，另外的一种就是对一些概念本质理解的过程和方法，相比前一种，后面更多的是一种基本的思维活动。

笔者从教学实践出发，谈谈数学抽象在教学中的应用。

一、数学抽象时要注意事物的表象

事物的表面现象是我们从抽象性认识分析事物的桥梁，我们只有先通过事物的表象，才能更进一步的对事物进行认识和分析。例如，我们在认识等边三角形的时候，为了方便对等边三角形的每个角都是60°这个定理的提出，我们可以进行一系列的比较，让学生自己对三角形进行比较，然后得出这个抽象性的定理。事物的表象是我们在进行一些公式的推算和概念的形成过程中的基础，方便我们进行更高一级的数学抽象。

二、数学抽象时要把概念问题具体化

我们在对具体问题和概念进行抽象分析的时候，先要根据具体的问题和概念通过一定的实际例子来进行理解和分析，要排除我们之前对这些问题和概念的认识和理解的干扰，然后在对这些抽象性的问题和概念进行进一步的认识和理解，分析不同的例子，然后得到这些问题和概念实质性的东西。除此之外，在初中数学的教学过程中，教师还应该要根据数学知识抽象性的层次和结构，进一步的引导学生构造抽象思维，帮助学生建立良好的学习思维模式，开发学生的思维。例如，数学九年级教材上册中，计算扇形的面积，如果只是简单的把计算的公式告诉给学生的话，他们在以后的运用当中肯定只是死记硬背下来的，这样就起不到很好的作用，而是我们要从一开始就让他们进行抽象性的思考这个公式的真正意义，让他们完全的搞懂这个公式，可以进一步培养自己的思维能力。

三、注意时机对抽象概念进行概括

我们在对一个事物的表象进行抽象性分析和理解以后，一定要把握好时机，对这个事物进行概念的概括，这样才能让我们的抽象性思维更加一步，如果我们不及时进行概括的话，对这个事物的认识还只是一开始的表象，不能从它的本质上进一步的理解和认识。如刚开始学习圆的时候，老师可以先拿来一个圆形的事物让同学们看，然后拿走实物，让同学们在脑海中想象一下刚刚看到的东西，并把它画出来，通过这样的方法来抽象出圆的概念。

四、数学抽象的时候要注意语言的表达

数学抽象的结果其实都是很形式化的东西，不管是公式还是定理等，在进行抽象性推导的过程中，都是要借助语言来表达，并且最后都是通过语言来表达出来的，所以在进行数学抽象的时候一定要注意语言的准确表达。在进行数学抽象的过程当中，我们通过语言的表达，可以更加清晰、直观的去理解事物的表象，能够更加准确的了解到事物的表面特征，这样就有利于我们后面的数学抽象进行。在对事物进行数学抽象表达以后，我们就要通过语言对抽象的概念进行描述，给这些抽象的概念定一个名字或者是下一个结论。准确的语言描述，可以更加方便学生的记忆和以后学习当中的使用。

结束语

数学抽象只是我们在学习数学知识的一种基本的方法，对于真正的掌握数学知识和了解数学的学习方法，其实就是要求我们要很好的掌握抽象性在数学当中的应用。相比于那些我们平常能够看到和能够轻易理解到的东西，那些抽象的公式和定理才更难以理解和掌握，所以掌握好抽象性的运用，对于我们的数学教学和数学知识的学习都是很有必要的。

【参考文献】

[1] 钱铭. 弱抽象和强抽象在数学教学中的应用[J]. 中学数学月刊，2009，（8）.

[2] 李福旺. 试论数学抽象与中学数学教学[J]. 河南职业技术师范学院学报（职业教育版），2007，（5）.

[3] 刘娟娟. 数学抽象及其在教学中的应用[J]. 教育研究与评论：小学教育教学，2012，（8）.

[4] 杨艳. 抽象思维方法在中学数学教学中的应用[J]. 林区教学，2012，（3）.

小学数学教学中的抽象 篇11

●在层层叠叠中营造四季更替氛围, 感受色彩魅力

来自大自然色彩的启示即“师从自然”, 是人类一种提高自身审美修养的自发和有效的途径, 古希腊哲学家赫拉克利特就曾经说过“艺术模仿自然”。[1]色彩构成的教学就从研究大自然的色彩开始。如何使聋生对自然界四季变化的色彩了然于心, 如何使教师突破时空限制, 在有限的课堂中诱发学生学习的积极情感, 是实现有效教学的良好开端。

聋生以目代耳, 本身形象思维能力就优于抽象思维能力。以形象思维入手, 创设美术教学情境是遵循聋生的认知规律, 发展聋生对事物归纳与概括的抽象思维能力, 最终提高聋生的色彩认知力和色彩感悟力的最佳手段。在色彩重构课中, 如何利用电子白板更有效地创设情境, 提高学生对色彩的感受力呢?笔者在此小试牛刀, 将同一场景在四季变化中的四幅照片在同一图层中层叠放置, 每张图片均设置动作为“后置”, 每点击一张图片, 场景就更换一个季节 (如图1) , 如此可实现四季现象的循环往复。生动形象的情境模拟, 在学生心中营造了四季变化的氛围, 让学生感受到了色彩魅力, 激发了学生良好的学习情绪。相比传统的媒体技术, 电子白板的图层运用, 既避免了繁琐的图片切换、翻页等操作带来的信息干扰, 又能使聋生视觉感知更敏锐, 有利于直击色彩主题, 引起学生的情感共鸣, 在情境创设中发挥了神奇的效果。

●在指指点点中探寻自然色彩秘密, 分析色彩构成

色彩重构的基础是色彩的采集, 色彩采集的过程是发现美、感受美、研究美的过程。而在绘画创作中, 聋生常因无从落笔而无所事事, 究其原因, 不在于没有技巧, 而是对身边美好的事物缺少敏锐的感受力, 甚至有些木讷。古人云“耳目聪明, 柔进而上行”, 说明听觉与视觉缺一不可, 两者协同的重要性。聋生的生理和认知特点需要教师在色彩采集的教学过程中避短, 教学方法上另辟蹊径才行。如何引导学生在较短的时间内探寻自然色彩秘密, 从色彩缤纷的图像中分解、采集出主要色相, 对表象进行研究, 传统教学显得黔驴技穷, 电子白板却能使教学柳暗花明。下面就让电子白板中名不见经传的选色器来一显身手吧。

笔者首先在电子白板中显示自然风景图片, 在图片外预备空白色块若干, 按照为色块填色的操作步骤打开属性浏览器, 点击填充项目中的颜色, 弹出调色板, 点取选色器。此时, 学生手握白板笔, 在自然风景图像中任意点取, 预备色块中即刻显示出选中的颜色, 如法炮制为其他色块填色。自然风景图片中纷繁的色彩被小小的吸管经指指点点后分解, 最终跃然板上, 图片中的自然色彩被图像化、形象化地表达了 (如图2) 。借助电子白板, 学生在指指点点中参与到知识的生成、学习的实践中来, 使抽象的色彩感知活动成为具体、可观的色彩分解识别的形象化过程, 使静态知识转变成为动态的、生成的教学资源, 从而使学生主动获取知识。

●在拖拖拉拉中确定图像色彩比例, 把握色彩情调

色彩重构是根据原物象的色彩情感、色彩风格做“神似”的重构, 重新组织后的色彩关系和原物象非常接近, 尽量保持原色彩的意境。[2]若要神似必先形似, 即重构图像中的色相比例关系和原图像中的色相比例关系必须相似。也就是说, 色彩比例对于重构图像的整体风格和美感起着决定性的作用, 是探索创造性地运用色彩的有效途径, 是通往色彩设计创作的一座桥梁, 更是色彩构成学习中必须掌握的一个实践性教学环节。色彩比例 (关系处理为2:3、3:5、5:8等序列) 同黄金比例 (1:1.618) 一样, 既属数学研究的范畴, 又是美术中较为抽象的形式美感研究的内容。习惯于感知生动简单的手势符号的聋生, 现在通过视觉, 感知抽象的色彩比例, 难度是可想而知的。感知这些抽象的色彩比例时缺乏直观形象作为支柱, 聋生往往不会通过想象、思维把抽象的色彩比例关系正确又迅速地在脑子里还原或重构图像。如何将抽象的色彩比例形象化传达, 我们可以用数形结合的方法解决聋生在学习色彩比例中遇到的障碍。

如果说选色器的运用不常见, 那么对图形的拖拉却是电子白板中习以为常的基本功能。再次使用电子白板, 将以上教学环节中填色得到的各个色块, 进行大小的拖拉调整, 修改各个色块的大小, 使它们之间的面积大小关系 (比例关系) 与这些色在自然风景图像中所占的面积大小关系 (比例关系) 相符。抽象的色彩比例关系立即转化为图形符号显示 (如图3) , 易于聋生识别、记忆、运用, 更易于学生们在创造过程中, 重新构成一幅新的装饰画。在此环节中利用电子白板把色彩比例关系对应的“形”找出来, 利用图形来解决问题, 将聋生难以理解的抽象的色彩比例转化为一个具体明确的形象, 引领聋生真正感受色彩情调。

●在拼拼凑凑中重组色彩构成样式, 突出整体特征

在面向聋生的色彩重构教学中, 最初的应用要求是将原自然图像中的色彩信息按照一定的内在联系与逻辑重新构建为一幅较为简单的新的色彩图案。其图案的色彩和形态是有一定规律的, 使人们在看到新整合画面后, 仍会下意识地联想到原始图像中的情调。这就要求再创造的过程中, 学生具备举一反三的能力, 而聋生实践中最大的障碍就是不会举一反三, 由此及彼。究其原因是教学中仍以教师为主角。聋生先天缺失, 各方面能力都处于弱势, 教师们呵护备至, 习惯成自然, 在教学中教师们也总以为:我们讲得越多、越细、越深、越透, 学生学得就越快、越好, 教师带领学生探索, 总比学生自己摸索要来得更快一些。事实上这样做容易造成学生思维的惰性, 久而久之, 学生失去了自我探究的意识。[3]要改变这一现状, 就要求教师让学生根据自己的体验, 用自己的思维方式, 自主地去探究, 去发现相关知识。在教学中如何引导学生通过体验实现色彩重构再创造呢?本环节在电子白板上设计了简单的趣味练习让学生重构再创造, 为创作装饰画做铺垫, 闻一以知十。

首先笔者给出命题, 以春天为题, 请学生在之前归纳出的图形符号中找出代表春天情感的图形符号, 运用图形符号中给出的色彩信息、色彩比例, 将电子白板上提供的若干小色块拼拼凑凑, 组成一幅能诠释春天的正方形或长方形的图像 (如图4) , 这一练习的形式源于拼图游戏的启发。电子白板灵活的操作方式、较强的趣味性更激起了学生们讨论、体验的热情。在讨论中又出现了“仁者见仁, 智者见智”的状况, 这时需要教师引导学生去发现、去分析、去解决, 只有这样才有可能在探究中把问题理解得更深刻、更透彻、更明确、更全面, 从而达到举一反三的目的。电子白板的使用让学生成为了课堂的主人, 真正做到了学生能独立操作的, 教师不代替;学生能独立解决的, 教师不示范。这样才能培养学生独立思考和举一反三、触类旁通的能力。

色彩构成的创作过程是极其复杂的, 因为它不仅是在创作, 而更多的是在进行美的探索、美的感受。这中间不但包含着创作者对美的愿望, 对美的理解, 同时也包含着创作者对事物的态度。是情感性的, 也是理智性的, 是抽象的也是形象化的。电子白板多样化的呈现方式, 既调动聋生的感官、获得丰富的表象, 又能培养聋生的比较、分析的形象思维能力, 使色彩创作这一难题得到了较好的解决。电子白板趣味化的教学方式, 帮助聋生正确理解色彩构成, 运用色彩规律进行绘画表现, 对色彩创作产生兴趣。电子白板的互动参与又在潜移默化中逐步发展了聋生对事物归纳与概括的抽象思维能力, 从而收到良好的教学效果, 最终提高聋生的色彩认知力和色彩感悟力。

先进的信息化技术只有真正服务于教学、促进学生的充分发展, 才能体现其价值。莫为技术而技术, 技术始终是教学的辅助。[4]作为特教教师, 我们更应注意发现聋生的认知规律、思维特点, 科学地设计教学结构, 合理地运用教学策略, 正确引导学生观察、认识、思考和探索实践, 由浅入深, 由易到难。

参考文献

[1]李广元色.彩艺术学[M].黑龙江:黑龙江美术出版社, 2000.

[2]百度文库色.彩的采集重构[EB/OL].http://wenku.baidu.com/view/df8af126a5e9856a561260b2.html.

[3]张梅.举一反三、触类旁通的实践与探讨[J].教育实践与研究, 200 (922) .