偏微分应用

2025-05-09

偏微分应用（共10篇）

偏微分应用篇1

在科学技术日新月异的发展过程中, 人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经不够精确了, 所以不少问题必须用多个变量的函数来描述, 才能够更精确地得到人们所需要的结果。这样就产生了研究某些物理现象的理想的含有多个变量的函数及其偏导数的方程, 这种方程就是偏微分方程。实际上, 偏微分方程的解一般有无穷多个, 而在解决具体物理问题时, 我们必须从众多一般解中找到能够满足题目给定的特殊条件的解, 这样我们才能够了解具体问题的特殊性。本文在简要的介绍偏微分方程的发展历史的基础上, 详细的讨论了其在弦振动及人口问题中的应用。

1 偏微分方程的发展

1746年, 达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中, 提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。由此开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题, 提出了解弹性系振动问题的一般方法, 对偏微分方程的发展起了比较大的影响。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪, 那时候, 数学物理问题的研究繁荣起来了, 许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶, 他在从事热流动的研究中, 写出了《热的解析理论》, 在文章中他提出了三维空间的热方程, 也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的[3]。

2 偏微分方程在某些具体问题中的应用

2.1 偏微分方程在弦振动中的应用

弦是一个力学系统, 是一个质点组, 故它的运动符合牛顿第二定律。设弦在未受扰动时平衡位置是x轴, 其上各点均以该点的横坐标表示。弦上各点的位移假设发生在某个平面内垂直于x轴的方向上, t时刻的形状是曲线u=u (x, t) , 适当假设如下:

(Ⅰ) 弦是一个“柔软”的连续体, 之所以能维持其形状是由于弦能抵抗弯矩, 因此任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向, 且弦的重力可忽略不计[4]。

(Ⅱ) 弦的振动发生在一个平面内, 且弦上各点的运动方向垂直于平衡位置。

(Ⅲ) 微小是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小, u (x, t) 是弦上横坐标为x的点在时刻t的位置。

(Ⅳ) 弦的扰动是小扰动, 即弦上各点的位移与弦长相比很小, 且振动平稳即弦在任意位置的倾角都很小, 这并不是说u (x, t) 的数值很小, 而是ux很小。

为了导出弦的横振动方程, 我们选择平面直角坐标系, 弦的平衡位置为x轴, 其两端分别固定在x=0及x=1处。

再证明弦上每点张力也不随地点的变化而变化。将点M1和M2的张力分别记为T1和T2, 张力的方向分别沿着弦在点M1和M2处的切方向。由于假定弦只做横向振动, 因此张力在x轴方向分量的代数和为零, 即有

T2cosβ-T1cosα=0 (α, β分别是曲线u (x, t) 的切线与x轴的夹角)

对于微小振动α≈0, β≈0, 所以cosα=cosβ, 于是可得T1=T2, 这说明张力不随地点变化。

综上所述张力为常数, 记为T。根据牛顿第二定律可以建立弦的横向振动方向。

作用在弦的这一微小元素上的垂直方向的力即为在横向分量的代数和为:

由于微小振动, 所以α, β都较小, 即:

应用微分中值定理可将上式化为:

(1) 弦自由振动的方程

当弦自由振动时, 不受外力, 由牛顿第二定律可知合力为惯性力, 可得下式:

(2) 弦强迫振动方程

若在弦的每单位长度上还有横向外力作用, 外力密度为F (x, t) , 由于弦段M1和M2很小, 其上各点处的外力密度近似相等, 故作用在弦段上的外力近似等于[1]:

2.2 偏微分方程在“人口”问题中的应用

人口问题是生物学家非常感兴趣的问题之一 (人口并不仅限于人, 它可以是任何一个与人有类似性质的生命群体) 。对人口的发展进行研究我们所采用威尔霍斯特模型:

威尔霍斯特模型是将生物群体中每一个个体视为同等地位来对待的, 而这个原则只适用于低等动物。对于人类群体来说, 必须考虑不同个体之间的差别, 特别是年龄因素的影响。人口的数量不仅和时间有关, 还应该和年龄有关, 而且人口的出生、死亡等都和年龄有关。不考虑年龄因素就不能正确的把握人口的发展动态。此时, 我们必须给出用偏微分方程描述的人口模型:

其中, p (t, x) 表示任意时刻t按年龄x的人口分布密度, d (x) 表示年龄为x的人口死亡率, b (x) 表示年龄为x (ɑ≤x≤A) 的人的生育率, ɑ表示可以生育的最低年龄, A表示人的最大年龄。

对于上述偏微分方程模型成立如下结论:

定理1:对偏微分方程的初值问题 (3) , 如果下列条件成立:

(Ⅰ) 在闭区间0到A上, p0 (x) ≥0且适当光滑;

则该初边值问题 (1) - (3) 存在唯一的整体解p (t, x) 同时满足p (t, x) ≥0且p (t, A) =0。

该模型在经过适当的简化假设后, 例如假设d (x) ≡d=常数, b (x) ≡b=常数, 就可以回到常微分方程模型。但在偏微分方程模型中d=d (x) 、b=b (x) 均与年龄有关, 这与现实情况相符。因此, 偏微分方程模型确实更能精确地描述人口分布的发展过程。

3 结论

随着物理学、医学、生物学等学科所研究的现象在广度和深度两方面的不断扩展, 偏微分方程的应用范围变得更加广泛。而从数学自身的角度来看, 偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、常微分方程、数值分析、微分几何等各方面均有不同程度的发展。所以从这个角度来说, 偏微分方程变成了数学的中心。由于同一类型的偏微分方程往往可以用来描述许多性质上颇不相同的自然现象, 所以对一些重要的偏微分方程开展研究, 可以有许多方面的应用前景, 并有望在新兴学科或边缘学科的开发中及时的发挥作用。

参考文献

[1]吴方同.数学物理方程[M].武汉:武汉大学出版社, 2001:18-36.

[2]朱长江, 邓引斌.偏微分方程教程[M].北京:科学出版社, 2005:106-112.

[3]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社, 2002:19-26.

[4]陈祖樨.偏微分方程[M].合肥:中国科学技术大学出版社, 2004:21-33.

偏微分应用篇2

(x,y)(x,y)其中它们具有二连续偏导数，而且在M0处的雅可比行列式。

(,)x yxy-yx(x,y)x y根据隐函数存在定理，在M0领域内存在逆变换

xx(,)yy(,)因为uxuxux，uyuyuyuxxu2x2uxxu2xuxxuxxuyyu2y2uyyu2yuyyuyyuxyuxxu(xyyx)uxyuxyuxy将代入①使其变为A11u2A12uA22uB1uB2uCuF经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以A11,A12,A22不全为。并可验证22A12A11A22(a12a11a22)(xyyx)2

2a11a22保持相同的这表明，在可逆变换下A12A11A22与a1222正负号。定理在M0的领域内，不为常数的函数(x,y)是偏微分方程a11x22a12xya22y20之解的充分必要条件是：(x,y)C是常微分方程的a11(dy)22a12dxdya22(dx)20通解。方程的类型及其标准形式根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程：dyaaaadyaaaa，dxadza***1221111(1)若在M0的邻域内a12a11a220时，方程可以化为

2uuB1uB2uCuF，该式称为双曲线方程的标准形式，其中B1,B2,C,F是自变量、的已知函数。(2)若M0的邻域内a12a11a220时，可将方程简化成2________A22uB1uB2uCuF，该式称为抛物型方程的标准形式，其中A22,B1,B2,C,F是自变量、的已知函数。(3)若M0的邻域内a12a11a220时，可将方程简化成2A11(uu)B1uB2uCuF，该式称为椭圆型方程的标准形式，其中A11,B1,B2,C,F是自变量、的已知函数。总之，根据a12a11a22的正负号能将

2a11uxx2a12uxya22uyyb1uxb2uycuf简化成三种标准形式。定义若在区域D中M0(x0,y0)点处满足a12a11a220或

2是，或是，则称方程a11uxx2a12uxya22uyyb1uxb2uycuf在该点M0处是双曲线的或是抛物型的，或是椭圆型的。二n个自变量的二阶线性方程方程的分类n个自变量的二阶线性偏微分方程一般可以表示成i,j1auubucuf①

ijxixji1ixinn其中aij，bi，c，f都是自变量x1,...,xn的已知函数，假设它们在n维空间中某一区域内连续，而且不全为。在区域内某点M0(x10,...,xn0)处，由二阶导数项的系数可构成相应的二次型q(1,...,n)aijxxT(aij)②

i,j1ijn其中(1,...,n)T，而(aij)是n阶对称矩阵。定义如果在点M0的二次型②为非退化且是不定的，即它恰有n个非零特征值，而且特征值的符号不全相同，则称方程①在点M0是双曲线型。如果其中n1个非零特征值同号，只有一个非零特征值与它们异号，则称方程在点M0是狭义双曲线型的。如果其中不只一个非零特征值是异号的，则称方程在点M0是超双曲线型的。定义如果在点M0的二次型②为非退化的，即它至少有一个零特征值，则称方程①在点M0是抛物型。如果只有一个零特征值，而另外n1个非零特征值同号，则称方程在点M0是狭义抛物型的。如果是其它有零特征值的情形，则称方程在点M0是广义抛物型的。定义如果在点M0的二次型②为正定或负定的，即它恰有n个同号的非零特征值，则称方程在M0点是椭圆型的。方程的简化当方程①中二阶偏导数项的系数aij全是常数时，相应的二次型②是常系数实二次型。根据线性代数的理论，运用配方法或者正交变换法，总可找到一个可逆线性变换(p)，即ijpi1,...,n

i1ikkn其中(pij)是可逆矩阵，将二次型q(1,...,n)化成标准形Q(1,...,n)，即q(1,...,n)T(aij)T(pij)T(aij)(pij)112...nun2Q(1,...,n)

1 T其中(pij)(aij)(pij).，而且i或或。

 n可取转置矩阵(pij)T构造自变量可逆线性变换(pij)Tx，即

px，i1,...,n

ik1kikn就能将在区域内方程①简化为BCuF。

偏微分应用篇3

关键词：精品课程；建设巩固；推广；扩大交流

结合近几年关于“偏微分方程”国家精品课程的申报与建设工作，在我们前期体验的基础上（见参考文献[4]），进一步就“偏微分方程”国家精品课程的建设、巩固与推广工作谈谈几点思考：思考我们前期建设的经验和不足，思考如何让我们的精品课程为全国同类课程起到更大的示范作用，思考能否把我们的课程打造成精品视频公开课。

一、前期建设经验的回顾

在借鉴诸多精品课程建设经验的基础上[1～3]，我校也取得了一些经验，概括如下四方面[4]：第一，在建设过程中一方面要全面围绕精品课程的整体目标落实好每一个环节，但又要凸显课程自身的特色。以我们申报和建设的“偏微分方程”国家精品课程为例，教学队伍建设是一个最大的特色。选择课程负责人，发挥引领示范作用。一名优秀的课程负责人应该是一流的科研工作者，一流的教学工作者，一流的管理工作者，这三个要素缺一不可。① 具备一流的科研水平，才能为课程组其他成员的研究指明方向，特别是对青年教师在疑难问题上进行关键性的指导，对外有很大的影响力，发挥该学科课程的学术带头作用。② 具备一流的教学经验和良好的师德师风，才能潜心搞好课堂教学，全面推动教学研究、改革和创新，对其他院校同类课程起到示范作用。③ 具备一流的管理能力，才可以领导课程组集体攻关，善于调动课程组教师的积极性、主动性，善于同课程组成员沟通；能够营造和谐愉快的工作氛围，对内具有很强的凝聚力。遴选主讲教师，促进优势互补。在课程组中，主讲教师既与课程负责人形成互补，各位主讲教师之间也应该形成优势互补。多元化的经验丰富的主讲教师使教学形式，教学方法呈现多样性。另外，主讲教师肩负着提高教学和培养青年教师的职责和使命。因此，主讲教师应专业基础深厚，知识结构全面，且有较高的素质和专业水平，经验丰富，注重把握学科发展的最新动态，密切关注学科的实践应用，能熟练应用现代教学手段和方法。除了搞好课堂教学以外，还十分注重教学研究、改革和创新。加强青年教师培养，推动可持续性发展。第二，对相关课程形成的课程群进行全面的建设，相互推动。我们所在的“数学与应用数学专业主干课程”国家级教学团队除了把与偏微分方程密切相关的课程“高等代数”、“数学分析”、“实变函数”建设成省级精品课程，“复变函数”建设成为校级精品课程外，正着力把“常微分方程”建设成为校级甚至国家精品课程。第三，科研成果的积累对教学起到促进作用，形成良性循环的发展态势。第四，通过硕士、博士学位点的建设，形成本硕博一体化的教学，进而推动精品课程的建设。

二、巩固与推广的探索

精品课程建设是一个复杂的系统工程，内容涉及之多，时间跨越之长。建设只是手段，全面推广才是目的。为此，需要持续性地加强巩固。以我们的“偏微分方程”国家精品课程的巩固和推广工作为例，从以下几个方面进行了探索。

1. 扩大交流——丰富交流形式、扩大交流范围

尽管我们的“偏微分方程”课程已通过批准立项国家精品课程建设项目近两年了，但课程组成员并没有松懈，而是倍加珍惜项目获得的来之不易，一直努力把该课程建设得更好，期望得到进一步的巩固和推广。更不因为我们的课程是“精品”，就故步自封，而是摆正姿态，仍然虚心地不断加强学习和交流。加强交流，便意味着要丰富交流形式，不拘一格，形式多样化：以网络资源形式的交流，以论文形式的交流，以讲座形式的交流，以会议形式的交流。同时，也扩大交流范围，打破领域、地域、时空等各种限制：从领域上扩大，从地域上扩大，从时间上扩大，从人力投入上扩大。我们的学习和交流手段主要是“走出去”和“请进来”。看似平常普通的两种交流形式，然而在我们“偏微分方程”课程组的巩固和推广过程中蕴含有很多内涵。

（1）走出去——积极开辟多渠道的交流。走出去，使我们放开眼界，扩大视野，多方面地学习。首先，学习不同学科精品课程建设的经验。尽管各学科之间有这样或那样的差异，然而从教学形式、教学规律和教学手段等方面都有许多共性。一方面，我们充分利用国家精品课程资源网站，经常广泛浏览各学科和专业精品课程建设的最新状况。另一方面，很多高校的网站都设有“精品课程”专栏，这些也成为我们不断学习的资源。其次，我们课程组成员积极主动参加各种教学会议。这些会议或者直接围绕精品课程建设为主题，或者间接为精品课程的建设借鉴经验。我们在会议期间，既积极与同行探讨教学中的各种实际问题，也主动向专家请教精品课程建设的宝贵经验。

学习只是“走出去”的目的之一。另一个很重要的目的是交流传播，让别人了解我们，更好地为我们的课程建设提出宝贵建议。一方面，把我们的课程网站“推销”出去，在让更多高校的学生和教师学习受益的同时，也有助于请这些学生和教师为我们的课程网站指出不足。另一方面，在各种会议上，课程组成员毫无保留地与同行和专家交流我们的课程建设状况，有助于得到全方位的指导和改进。

走出去，不仅仅局限于走出校门，而且要大踏步地走出国门。为了响应学校加快国际化办学的政策，课程组选派了一些青年教师赴美国霍普金斯大学、匹兹堡大学、普渡大学学习交流。以后还将陆续派出相关教师出国出境学习。他们在学习国外大学的先进教学理念和教学模式的同时，也将提高自身的英语水平，为将来开设双语教学甚至全英文教学奠定基础。

（2）请进来——主动邀请专家同行指导。请进来，便意味着我们要敞着大门搞教育，真情实意邀请同行专家莅临学校指导工作。我们于2010年5月，与学校教务处通力合作，成功举办了第七十四期“博雅大讲堂”，邀请了复旦大学李大潜院士为本科生作了“回望欧拉，学习欧拉”的公众报告。2011年5月，又请首届高等学校教学名师奖获得者、南开大学数学科学学院顾沛教授做客第九十二期“博雅大讲堂”，为我校师生带来了以“数学文化”为主题的精彩讲座。为了活跃学校学术氛围，拓展研究生国际视野，提高研究生科学修养，进一步促进学校发展空间提升，我校研究生院于2011年特设立了“华大论坛”，拟在全球范围内聘请知名专家来我校讲学。充分利用这一平台，又于2011年10月，与学校研究生院合作，成功举办了第一期“华大论坛”，再次邀请到李大潜院士为全体研究生和教师作了题为“漫谈偏微分方程的学习”的高端讲座。

除了个别邀请之外，为了争取到更多的专家同行来学校传经送宝，我们还积极筹备各种研讨会或教学会议，这方面的工作使我校数学与统计学学院实现了零的突破。2011年11月，华中师范大学成功举办了“国家级教学团队和精品课程建设研讨会”，邀请了国家级教学名师奖得主南昌大学朱传喜教授、南京理工大学杨孝平教授、华南师范大学尹景学教授以及福建省教学名师谭忠教授作会议特邀报告。这些名师都是偏微分方程及相关领域的知名专家。同时参加会议的专家学者还有包括来自武汉大学、武汉理工大学、中南财经政法大学、华中农业大学、湖北大学等高校的数学各分支的国家精品课程负责人、教学团队负责人以及各级教学名师等，他们为我们的精品课程建设献言献策，提出了许多可借鉴的宝贵经验。

2. 与时俱进——充分利用好各级资源和平台

我们在精品课程建设的过程中，始终坚持解放思想、实事求是和开拓进取，在大胆探索中继承发展，观念、行动和时代一起进步。关注学校、省教育厅和教育部的方针政策，适时适度作出调整。

（1）教育部启动的精品视频公开课于2012年将范围扩大至“211工程”高校。为深入贯彻胡锦涛总书记在庆祝清华大学建校100周年大会上的重要讲话精神及十七届六中全会精神，落实教育规划纲要，根据《教育部关于国家精品开放课程建设的实施意见》（教高〔2011〕8号），“十二五”期间，教育部、财政部实施的“高等学校本科教学质量与教学改革工程”中将立项建设1000门精品视频公开课。教育部高等教育司决定在“985工程”高校试点建设的基础上，2012年将精品视频公开课建设学校范围扩大至“211工程”高校及少量具有鲜明学科特色优势的高校，建设350门精品视频公开课。

其中“对已经建设的国家精品课程进行升级改造”是精品视频公开课建设的内容之一。这将为“211工程”高校的国家精品课程建设的进一步巩固和推广带来契机，同时也为我们这些“211工程”高校的国家精品课程负责人和建设者增添了一份责任和使命。为了抓住这一契机，为了承担起这份责无旁贷的使命，课程组立即作出响应，着手精心准备精品视频公开课的申报。申报的过程本身也是促进课程建设的过程，本着这样一种心态，课程负责人朱长江在偏微分方程课程部分录像的基础上，启动录制课程全程录像等工作。力争把我们的“偏微分方程”国家精品课程打造成精品视频公开课，为全国同类课程起到更大的示范作用。

（2）华中师范大学“十二五”发展规划中提出国际化信息化战略。除了用好教育部以及湖北省的有限资源。我们更要充分运用好学校的各级平台和政策。近期学校在“十二五”发展规划中提出国际化信息化战略，并相应采取了一系列举措。就国际化战略而言，学校加大了选派教师出国学习交流的力度。我们课程组充分利用这一政策，选派了多名课程组成员或与课程组密切相关的教师到国外知名大学学习交流。就信息化战略而言，这对我们数学这样的传统学科是一项新的挑战，但同时，也为精品课程建设提供了平台和必要的帮助。例如，在课程网站的维护等方面，将会提供更多的技术指导。为精品课程建设提供更多必要的软件和硬件设施。学院选派了课程组青年教师参加电子双板培训，这将会对提高该课程及相关课程的信息化教学起到积极的促进作用。

3. 群策群力——推动其他教学质量工程的建设工作

国家精品课程建设仅仅是“高等学校教学质量和教学改革工程”的一个方面。事实上，“高等学校教学质量和教学改革工程”是一个庞大而复杂的工程，涵盖内容之广泛，如国家级教学团队、双语教学示范课程、高等学校特色专业建设点、高等学校教学名师奖、大学生数学建模竞赛和万种新教材建设等。但每一个方面并不是独立的，而是相互促进的。其中许多工作需要我们去做，值得我们去做。我们“偏微分方程”国家精品课程中的许多成员在建设好“偏微分方程”国家精品课程的同时，充分利用这一平台，正承担着“高等学校教学质量和教学改革工程”的多方面工作，逐步推动了其他教学质量工程的建设工作。在我校数学与统计学学院营造了一股浓厚的教研教改之风，带动了其他教师在质量工程建设的其他方面不断出新思路、新成绩。这些也将为进一步申报教学成果奖和铸就教学名师起到积极的推动作用。

三、课程建设后期展望

我们将进一步充分利用华中师范大学偏微分方程教

学研究团队强大的师资力量，在已取得成果的基础上，紧紧围绕复合型高素质数学人才培养这一根本任务，以提高本科教学质量为核心，大力提升人才培养水平，充分发挥“偏微分方程”国家级项目在推进教学改革、加强教学建设、提高教学质量上的引领、示范、辐射作用，更好地满足全国经济社会发展对应用型人才、复合型人才和拔尖创新人才的需求。按照资源共享的技术标准，对已经建设的国家精品课程进行升级改造，更新完善课程内容，建设成资源共享课程。借着学校国际化办学战略的实施，利用大部分教师都有出国出境访问讲学的经历，有些教师还在境外从事过偏微分方程课程的教学这一特色，力争把偏微分方程建设成为国家级双语教学示范课程。

参考文献：

[1] 柳礼泉，丁蕾. 精品课程和国家精品课程建设研究综述[J]. 大学教育科学，2010(5)：34-37.

[2] 王晶晶，李建辉. 高等学校精品课程教师队伍建设之探究[J]. 漳州师范学院学报(哲学社会科学版)，2010(2)：132-136.

[3] 柳礼泉. 精品课程建设与一流师资队伍培养[J]. 高等教育研究，2007(3)：77-81.

[4] 朱长江，阮立志. 关于“偏微分方程”国家精品课程建设的几点体会[J]. 数学教育学报，2011，20(4)：84-86.

[5] 宁芬. 关于精品课程建设的思考[J]. 中国教育导刊，2005 (4)：15-16.

[基金项目：教育部财政部2010年度国家精品课程“偏微分方程”建设项目（教高函[2010]14号）；教育部财政部2010年度国家级教学团队“数学与应用数学专业主干课程”建设项目（教高函[2010]12号）；湖北省教育厅2010年高等学校教学研究项目“数学专业分析类课程群教学的综合研究与实践”（项目批号：2010070）；国家自然科学基金项目：11071093，10901068]

偏微分应用篇4

图像是我们人类进行传递信息的媒介, 因为图像的重要性所以图像逐渐作为一种科学研究的重要工具和对象。我们平时生活中常见的图像都会带有噪声, 因为各种各样的因素, 在图像的形成或者传输过程中, 外界噪声会导致图像的质量问题, 从而直接影响视觉效果, 那么下一步的处理将会更加复杂。不过高质量图像几乎是图像领域里必须要有的, 所以为了获得高质量清晰的图像, 需要对图像进行去噪处理。随着数学计算的发展, 偏微分方程开始被应用到图像处理等很多领域。本文主要介绍几种偏微分方程在图像去噪处理中的应用。

1 偏微分方程的简介

微积分方程这门学科产生于十八世纪, 欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程, 随后法国数学家也提出特殊的偏微分方程, 也就是由对弦震动的研究开创了偏微分方程。偏微分方程是一种重要的数学分析模型, 利用偏微分方程可以得出不同的处理方式。在过去二十多年中, 基于偏微分方程的图像处理方法是图像处理领域所得到的比较重要的成果, 应用了偏微分方程解决了图像处理过程中面对的很多难题。偏微分方程应用在图像处理中的步骤主要是通过以下几步, 第一步就是建立图像的偏微分方程模型, 然后就是对图像进行分析和研究。我们可以认为图像是实数域上关于x、y的二维函数, 因为图像并不是持续的, 而是分片连续的, 可以在连续区域内用函数逼近原始图像。另外, 还可以应用这种方式, 就是构造图像梯度的函数, 这样两种图像组成一个新的变分方程。模型的建立不是一蹴而就的, 而是需要考虑很多方面, 所以, 偏微分方程在图像处理中的应用也经过了很长的探索。

2 热扩散方程

根据物理模型建立热扩散方程, 其具体是:利用物理原理, 将一根钢管进行局部加热, 然后伴随着导热过程, 钢管的热量会逐渐慢慢消散均匀, 等到整个钢管的温度达到均匀。这种模型就应用在图像去噪中, 就像将图像的噪声扩散到整个图像的灰度道道一致。

我们就设原始图像为u (x.y.0) 。设u (x.y.t) 为时间t时的扩散图像, 那么计算图像的热扩散偏微分方程就是以下方程:

其中, △u (x, y, t) 为图像的算子, 其初始条件是u (x, y, 0) , 这样的方程解为以下公式:u (x, y, t) =Gt*u (x, y, 0)

从这个公式可以看出, 扩散后的图像相当于低通滤波器, 因此, 也看出热扩散方程就是同性扩散, 扩散随着时间的延长, 而逐渐过滤了图像的边缘。

3 P-M扩散方程

数学家Perona和Malik针对热扩散方程存在的缺陷, 而对其进行了相应的改进和完善, 因为热扩散方程是同性扩散, 而Perona和Malik将图像分片光滑的特征, 把图像分成不同的区域, 然后在区域内进行相同程度的扩散, 而区域外不进行扩散。

20世纪90年代, Perona和Malik在热扩散方程中引入了新的函数, c (x, y, t) 作为扩散系数, 当然初始条件还是u (x, y, 0) 。具体方程为:

方程中u表示输入图像, div表示散度算子, c表示扩散系数, ▽表示梯度。按照最初的预想, 图像的扩散程度应该是由c (x, y, t) 决定的。在灰度平坦区域, c (x, y, t) =1, 上述方程退化成热扩散方程, 对图像进行各向同性扩散。但是在灰度变化的区域, 就不会扩散。

在实际中, 我们无法提前知道图像的边缘信息, 此时我们就需要另外一个函数, 一般情况下图像的边缘信息是梯度的函数, 所以我们就用梯度算子建立一个函数, 定义g (s) 是光滑而又不增的函数, g (0) =1, 而且g (s) 大于等于0, 方程为:

在扩散函数g中, k是常量, 当然根据数学特性, k的值越大的话扩散也就越强, 当k是一个适当的取值时, 就能够增强边缘, 去除图像中的小区域。这种扩散函数g的取值范围都在0到1之间, 它随着梯度的增加而下降。作为一种局部自适应扩散方式, 它会在图像梯度变化不大的地方进行扩散, 反而在图像梯度变化大的地方不再进行扩散。

4 结果对比分析

我们选取一个灰度图像, 加入噪声。然后分别采用热扩散和P-M扩散方式来对图像进行去噪处理, 次数为十次和二十次。通过处理之后, 迭代十次之后的去噪效果基本相同, 但是通过迭代二十次之后, P-M扩散方法显然好于热扩散, 而且通过P-M扩散方法, 能够将噪声处理干净, 同时还保护了图片的边缘。首先, 运用热扩散方程法, 发现当迭代次数为五次逐渐上升到十次甚至十五次时, 噪声慢慢逐渐消失, 当迭代达到二十次时, 噪声几乎全没有了, 不过噪声消除的同时图像的边缘却被消除了, 而且一些细节性的信息也没有了, 最终导致图像很模糊了。

热扩散方程方法将图像去噪问题转化成了偏微分问题, 不过实验操作已经看出它的去噪效果并不明显, 边缘信息几乎都没有了。采用P-M扩散方程进行图像去噪, 效果显然高于热扩散方程, 噪声被去掉的同时还及时保护了边缘, 使得整个图像比较清晰。

但是P-M扩散方程存在一些问题, 主要是以下几点:第一, P-M扩散方程的数值很不稳定, 输入的微小变化可能带来结果的巨大变化。应用在图像处理过程中, 可以表现在输入两幅差异较小的含噪声图像, 经过P-M扩散方程得到一个去过噪声图像, 就会出现很大的差异。第二, 对于一些梯度很大的噪声, 因为P-M扩散方程而被错误的认为是边缘, 所以没有被去除, 相反得到了强化。第三, 利用P-M扩散方程处理后的图像会出现阶梯效应。第四, 利用P-M扩散方程, 针对一些细微的边缘和图像纹理, 和细节等信息, 因为梯度值太小而不容易被保留, 被消掉了。其原因主要是扩散系数函数对图像中的大变化和大特征比较敏感。在小区域内P-M扩散相当于同性扩散。不过这个也有解决的办法, 比如不对整个一幅图像进行P-M扩散方程处理, 而是将图像分解成不同的成分, 然后分别对其进行处理, 特殊对待, 对于纹理类的小细节我们可以将它们放大, 然后利用P-M扩散方程将它们捕捉到, 这样就能最大发挥P-M扩散方程的效果。

参考文献

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偏微分应用篇5

非线性脉冲时滞抛物型偏微分方程组边值问题的振动准则

考虑一类具非线性扩散系数的脉冲时滞抛物型偏微分方程组, 利用Green公式、垂直相加法和脉冲时滞微分不等式, 获得了该类方程组在Robin边值条件下所有解振动的充分判据. 所得结果充分反映了脉冲和时滞在振动中的影响作用.

作者：罗李平LUO Li-ping 作者单位：衡阳师范学院,数学系,湖南,衡阳,421008刊名：空军工程大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF AIR FORCE ENGINEERING UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：8(5)分类号：O175.26关键词：脉冲时滞抛物型偏微分方程组振动性非线性扩散系数

偏微分方程课程教学改革探索篇6

关键词：偏微分方程,教学内容,教学方法,教学目标

偏微分方程是众多描述物理、化学和生物等现象的数学模型的基础。近年来已经扩展到经济、金融分析、图像处理等领域[2]。本科偏微分课程主要来源于数学物理和理论物理中的一些连续介质模型。通过讲授一些典型数学物理方程的导出, 解的适定性和解的性质来培养学生掌握偏微分方程的理论、方法和技巧, 为后续学习打下坚实的基础。

偏微分方程对学生的大学数学基础要求很高, 与其它数学分支有紧密联系。因此, 在教学过程中容易出现以下几个问题: (1) 学生学习该门课程的知识储备不够, 要想学好偏微分方程要求学生有比较扎实的“数学分析”“实变函数”“复变函数”“泛函分析”以及相关的大学物理知识。 (2) 课程的理论性过强、内容多、难度大。学生感觉学习枯燥, 乏味, 提不起兴趣。无论是方程的导出还是解的适定性问题求解过程往往麻烦、冗长、计算量大, 学生容易产生畏难情绪。教师教的也累, 上课效果不是很好。 (3) 课程内容与后续学习的内容连接不上。本科阶段的偏微分课程远远不能满足一些专业后续学习的需要, 很多学生反映在继续深造的过程中发现一些知识学了的用不上, 要用的没学过。针对以上几点, 结合作者的实际教学, 从教学内容、教学方法与教学目标等方面提出了一些认识和想法, 在教学过程中取得了一定的效果。

1 根据专业和教材的特点, 确立不同的教学目标

偏微分方程是该校应用数学专业的一门必修课程, 从课程的地位来说, 它是专业基础课, 对于后续课程的学习起着很重要的作用。因此, 根据专业的不同选用的教材也应有所不同, 针对不同的专业确立符合专业的教学目标, 以确保学有所用。例如:该校应用数学专业选用的教材是陈祖墀编写的《偏微分方程》 (第2版) 。这本教材的特点是内容论述详细、严密。主要内容分为复变函数和数学物理两大板块, 比较适合纯理科的学生学习。教学目标要求学生在学习基本理论和求解方法的同时, 注意理解处理问题的思想方法。而对于物理, 材料等工科专业选用的教材是谷超豪等编写的《数学物理方程》, 这本教材比较适合于应用物理专业的教学内容, 该教材对不同的内容设立不同的教学要求, 在保持数学物理方法框架的前提下, 削减了许多具体的教学内容, 比如:二阶拟线性偏微分方程的分类、拉普拉斯变换、变分法等。在教学目标上除了要求学生掌握数学理论部分还要求学生要理解特殊函数部分的内容, 体现这些内容在力学、材料、能源及生物等领域较强的应用背景。对于信息与计算科学专业的学生应该侧重于偏微分方程数值解。在教学目标上侧重于掌握有限差分方法、有限元方法、有限体方法、多重网络等方法。因此, 结合课程的实际问题, 教学目标应该侧重于以下两点:首先, 以教材内容为主, 让学生掌握必要的理论知识和数学工具。其次, 培养学生的数学建模思想、解题技巧和方法以及利用偏微分方程的相关知识解决实际问题的能力。

2 结合专业, 精选教学内容

偏微分方程具有知识点多, 触及领域广, 理论性强, 计算量大等特点, 而近年来由于人才培养模式的改变, 该课程在很多学校只有54个学时 (该校为72学时) 。在课时不充分的情况下, 应根据专业和培养方案精选上课内容, 以便在有限的课时内学生的学习效率最大化。教师在教学的过程中有必要对教学内容、教学计划、教学重点等根据大纲要求并结合专业进行科学调整, 督促学生提前复习相关知识, 提高上课质量。例如:对于应用数学专业的教学, 主要讲授内容应是二阶拟线性偏微分方程的相关理论。重点介绍波动方程、热传导方程、调和方程这三大方程的导出, 问题的提法以及解的适定性。讲课的过程中重点介绍二阶线性偏微分方程的分类、一阶拟线性偏微分方程的特征线理论、突出分离变量法、球面平均法、傅里叶变换法、格林函数法在二阶拟线性偏微分方程中的作用, 详细介绍一维波动方程的行波解, 分离变量法, 高维波动方程的球面平均法的基本思想、应用条件等。再通过举例、归纳、总结对比后掌握这些基本方法的精髓。对于其它方法可以作简单概述或者让学有余力的同学学习。

3 改革教学方法与考试方式

3.1 突出背景知识的介绍, 培养建模思想

偏微分方程主要来源于物理和工程技术以及一些实际问题, 很多方程都有实际的物理背景, 每一类方程都是根据实际的物理现象, 通过物理定律建模得到的, 方程的定解也有物理意义。介绍相关的背景知识可以让学生明白为什么要研究这类方程, 偏微分方程能解决什么问题。例如:笔者在讲授热传导方程的导出时, 先给出了一个模型:给定空间内的一个物体G (要求该物体是由均匀的、各项同性的介质组成) , u (x, t) 为物体在点x时刻t时的温度。问题是研究该物体温度的变化规律。这一规律可以用热传导方程来描述, 它是抛物型方程的典型代表, 具有丰富的物理背景。因此, 在上课的过程中引导学生用热量守恒定律与傅里叶热传导定律以及微积分的相关知识对这一问题进行建模, 并着重分析各种物理条件在建立数学表达式时的实际意义, 让学生学会用偏微分方程建立数学模型的基本思路和基本方法。这样学生通过对这一方程的背景知识的了解, 对方程中各个变量有一个直观的认识, 有利于对方程的解的物理意义的了解, 有利于对最大值原理这一重要内容的学习, 从而加深了对这一方程的理解。

3.2 改变教学手段与教学方法

由于偏微分方程涉及的概念、公式和定理比较多, 在教学中应采用多种教学方式相结合的方法提高学生的学习积极性。首先, 重视启发式和讨论式的课堂教学。例如:对于第五章位势方程的内容, 采用的就是讨论式的课堂教学。尝试在课堂上先着重介绍位势方程的来由, 再引入Green函数的概念, 然后请学生自己完成对这个特殊函数性质的描述和刻画。将这些内容进行一定的划分, 把每个知识点作为课堂讨论的内容。学生通过收集, 整理资料, 然后进行课堂讨论。在讨论的过程中学生如果有问题教师当场解决或者请同学们一起讨论, 加深学生对这一知识点的了解, 营造一种求知的学术氛围。充分发挥学生的主体作用。另外, 提倡学生掌握解题技巧, 一题多解, 例如:在介绍热传导方程的初边值问题解的唯一性和稳定性时鼓励学生从极值原理、最大模估计、能量方法等不同角度去考虑问题。其次, 利用多媒体课件和计算机软件辅助教学。由于偏微分课程的特点, 目前大多数老师仍以传统的课堂教学为主, 而少数教师则喜欢用多媒体课件教学。传统的板书能更好地引导学生去感受和思考数学逻辑的推导过程, 有利于加深对数学理论的理解和认识, 培养学生的逻辑和思维能力。但是多媒体课件可以让学生更直观, 更全面的理解知识点。另外使用多媒体课件还可以节省大段公式的板书时间[3]。所以, 认为应该把两种教学手段结合起来, 对一些定理, 公式图表以多媒体展示, 尤其是可以把一些复杂的物理现象例如波的弥散通过多媒体展示可能更加直观, 对一些演算过程则要板书。根据内容选择合适的教学手段。

3.3 教学与科研相结合

近年来偏微分方程特别是非线性偏微分方程在各个领域中出现, 有各种不同的研究方法。例如:输运方程在控制问题、种群演化问题、疾病传播问题、流体力学问题等方面都有广泛应用[4]。讲课的过程中可以适当引进新的理论, 新的方法, 开拓学生的视野, 激发学生的兴趣。例如:在介绍一阶拟线性偏微分方程时可以介绍一下超音速流和激波的相关知识, 在介绍二维波动方程初边值问题解的唯一性时, 可以引导学生用能量法解决一般形式n维的双曲型偏微分方程解的唯一性和稳定性。这些小问题有助于学生科研能力的培养。近年来该校卓越班实行导师制, 导师每星期与学生有一定的见面时间给学生提供一些参考文献, 也可以让学生参与自己的教学项目和科研项目中, 提高学生的科研能力, 取得了一定的效果。

3.4 改变考试方式

目前该校采用的考试方式是知识与能力相结合的综合评价方法, 即平时成绩和期末考试相结合的综合评价体系, 其中平时成绩占30%, 包括考勤和作业, 期末考试成绩占70%。这样的综合评价方法虽然比较全面的反映学生的学习效果。但是还是有一部分学生平时不学习, 期末的时候寄希望于老师划重点, 临时抱佛脚。笔者认为要改变学生只重视课程成绩, 在期末时才开始背笔记应付考试的不良习惯, 应加强对学生平时学习情况的考察。学生的平时成绩可由作业、讨论课上表现、以及小论文等部分组成。尤其是对一些善于提出问题、发现问题的学生不能以期末成绩作为唯一的评价标准。采用以上多种方式结合的考核形式, 更能检测学生的学习过程。

4 结语

针对偏微分方程的特点, 从教学内容、教学方法与教学目标等方面提出的教学改革与探索在实际教学中取得了一定的教学效果, 消除了学生学习偏微分方程的畏难心里, 激发了学生学习的积极性。取得了很好的考核成绩。

参考文献

[1]谷超豪, 李大潜, 陈恕行, 等.数学物理方程[M].3版.北京:高等教育出版社, 2012.

[2]张渭滨.数学物理方程[M].北京:清华大学出版社, 2007.

[3]邹永魁.偏微分方程数值解课程的思索[J].科技信息, 2012, 14 (9) :200-201.

三类基本线性偏微分方程求解思路篇7

Ax2+2Bxy+Cy2+…=0.

1.B2-AC<0:椭圆方程;

2.B2-AC=0:抛物线方程;

3.B2-AC>0:双曲线方程.

这三类线性偏微分方程是我们在学习中会最先遇到的, 而且在大学学习中基本就只是这三类方程.在物理上分类可以分为:1.调和方程;2.热传导方程;3.波动方程 (以下所说的偏微分方程只包含这三种类型) .

在学习中, 这三类方程都有公式可以求解, 但是在遇到特定的某一方程的时候, 往往不知道该使用哪一公式和如何使用公式, 并且面对边界条件和初始条件的时候不知道该如何处理.以下讲解这三种基本线性偏微分方程的基本思想和基本求解步骤.

一、判断方程的基本类型

一共三种基本类型, 根据其对时间求导的阶数分类.如果是对时间求导两次, 就是波动方程, 求导一次就是热传导方程, 如果在方程中不出现时间t, 就是调和方程.如:

uxx+uyy+uzz=f (x, y, z) , 是调和方程;

ut=k (uxx+uyy+uzz) , 是热传导方程;

utt=c2 (uxx+uyy+uzz) , 是波动方程.

二、判断边值和初值条件

无论是哪一类方程, 在确定方程类型之后, 都需要去判断其边值和初值条件.我们求解的时候都先求解方程是齐次的, 即方程右端为零.如果边值和初值条件都是齐次的, 那么我们应用基本的公式就可以求解, 如达朗贝尔公式、柯西公式.可是我们遇到的偏微分方程往往都不是齐次的, 这时候我们的想法只有一个:把它们都化为齐次的, 再应用基本公式求解.

把边值和初值化为齐次的顺序也是有讲究的.对于非齐次初值, 应用叠加原理, 可以处理非齐次初值问题.但是遇到非齐次边值问题, 就麻烦多了.我们需要设:undefined, 然后作变换V=u3-U (t) .u3是原来方程的解.这样V就满足齐次边界条件, 再应用一次达朗贝尔公式或者分离变量法就可以把问题解决.而在作变换之后, 方程的初值条件也改变了, 但是这个容易解决, 也是使用叠加原理就可以了.对于柯西问题 (就是没有边界条件) , 可以直接使用柯西公式或者达朗贝尔公式就可以了.

三、判断方程的齐次性

当方程的初边值条件都化为齐次的时候, 考虑方程的齐次性.若方程不是齐次的, 先解一个方程是齐次的, 初边值条件都是非齐次的问题, 解决方法上面已经列出.然后解一个方程是非齐次的, 初边值条件都是齐次的方程, 解决方法是运用齐次化原理.使用齐次化原理之后, 会出现一个齐次方程, 且非齐次初边值条件.那么我们就再一次运用解齐次方程的方法来求解即可.最后把齐次的和非齐次的方程的解加在一起就是偏微分方程的通解.

四、总结

从上面的解方程的过程可以看出, 解基本的偏微分方程的思路:我们首先要了解方程的分类, 然后我们要尽量把方程化为齐次的初边值条件, 因为齐次的初边值条件的偏微分方程是我们唯一可以简单套用公式解出的.通过解题的思路可以看出, 求解非齐次初边值条件, 且非齐次的方程最为复杂, 但是所要做的东西都是很重复的, 要重复三次同样的解题步骤.而其他情况就稍微简单一点, 也是使用以上的解题思路可以解决.

我们只要认清我们要解的方程是什么, 坚定一个方向 (化为齐次初边值) , 这三类基本的偏微分方程就只是计算问题了.因为计算量较大, 我们要通过多做练习来巩固, 避免在计算方面出现错误.

参考文献

[1]孔德兴.偏微分方程.北京:高等教育出版社.

[2]谷超豪, 等.数学物理方程.北京:高等教育出版社.

[3]齐民友.广义函数与数学物理方程.北京:高等教育出版社.

一种改进的二阶偏微分去噪模型篇8

以此, 本文针对二阶偏微分方程易产生阶梯效应、四阶偏微分方程不能有效保留图像的边界的缺点, 在对以二阶偏微分方程为基础的全变分去噪模型上进行改进, 提出一种基于图像结构的全变分模型。该模型先获得图像的结构信息, 再对图像沿切矢量进行最小化全变分, 并通过实验证明本模型有效地克服了阶梯效应并较好保留图像的细节, 获得很好的去噪效果。

1 全变分图像去噪模型性能分析

令u为原始未受噪声干扰的图像, I为受噪声污染后的图像, 即I=u+n, n为二维噪声信号。去噪就是从噪声图像I恢复原始图像u, 根据噪声图像的全变分比无噪声图像的全变分大思想, 得到的TV去噪模型为

式中:第1项为正则化项;第2项为数据保真项, 正则化项确定扩散的方式;"是微分算子;λ为可信度参数, 可信度参数为细节保持与平滑之间的权重参数, λ过小会使图像过度平滑以致边缘模糊, λ过大会使图像会剧烈震荡。

TV去噪模型的欧拉-拉格朗日方程为

相应的扩散方程可写成

式中:决定TV模型的扩散方式。可信度参数λ是细节保留的一个权重参数, 确保去噪后的图像尽可能逼近原始图像[11]。将欧拉-拉格朗日方程两边乘以u-I, 再对整个图像区域Ω上积分, 可得可信度参数λ

式中:σ2为噪声方差。扩散方程可进一步写成

由上面分析可知TV模型仅沿图像梯度的切线方向扩散, 图像的切线方向实质就是图像的边缘, 毫无疑问这种扩散增强了图像的边缘的同时, 也会把较强的噪声当成边界, 从而放大噪声而产生阶梯效应, 形成虚假边缘。如果能对扩散方式进行控制, 图像边缘保持扩散, 受噪声干扰平滑区域减小扩散速度或停止扩散, 将大大改善去噪性能。

2 全变分图像去噪模型的改进算法

TV模型中正则化项决定扩散方式, 为图像梯度, 是对图像所有的波动点进行检测, 不能较好地体现图像本身结构信息, 在平滑区域的噪声点不可避免地获得较大的梯度, 从而在平滑过程中增强噪声点, 而产生阶梯效应。如果能对TV模型扩散性能仅仅依赖于图像的梯度的方式进行改进, 实现在扩散性能控制中把图像的结构信息考虑进去, 在图像平滑区域位置减小扩散, 消除噪声对扩散性能的影响, 将会有效克制虚假边缘的产生, 获得更好的去噪性能。因此, 需要对TV去噪模型的正则化项加入体现图像结构信息的切矢量和法矢量的信息, 对TV模型修改为

式中:为图像边界的切矢量和法矢量, 由于原始图像无法获得, 可通过平滑后的噪声图像获得图像的切矢量和法矢量, 即此时相应的扩散方程为

可知, 新的扩散方程引入了沿原始图像梯度的法矢量, 对扩散行为的控制排除噪声的影响。对于扩散速度, 本文希望梯度大的区域扩散快一些, 梯度小的区域扩散慢一些, 新的扩散因子不能较好反应梯度信息, 因此, 仍然采用TV模型中的作为扩散强度因子, 于是得到新的扩散方程为

令式 (8) 等于0, 两边乘以u-I, 再对整个图像区域Ω上积分, 可求得此时的可信度参数λ

3 试验结果及分析

为证明本文改进TV模型的去噪有效性, 笔者进行了大量的仿真实验, 实验中采用不同大小的灰度图像分别对TV模型、You-Kaveh模型以及本文改进的TV模型进行了比较。改进的TV模型需求得原始图像的一阶梯度 (Ix, Iy) 以获得图像的结构信息, 可以通过对噪声图像I进行高斯滤波, 消除一定的噪声, 再求梯度, 选择高斯滤波器的窗口大小为5×5。3种方法分别对Lena, texmos, pepper图片进行去噪得到的前后图片如图1~3所示。从图中可以看出TV模型有效地去除了噪声, 但是同时在图像平滑区域产生的很多虚假边缘, 出现阶梯效应。基于四阶微分方程的You-Kaveh模型虽然克服了阶梯效应, 但是模糊了图像的细节, 残留很多噪声, 去噪不充分。本文改进后的TV模型不仅克服了阶梯效应, 同时有效地去除了噪声, 保留图像细节, 去噪性能最优。3种算法对3幅图像的迭代时间与峰值信噪比 (Peak Signal to Noise Ratio, PSNR) 如表1所示, 从表中可以看出, 四阶微分方程的You-Kaveh模型耗时较大且峰值信噪比最低, 这是因为该模型在每次迭代时都需要求高阶微分, 运算量大, 四阶微分算子不能有效地体现图像的结构信息;而改进的TV模型相对You-Kaveh模型耗时量大大减小, 耗时略多余TV模型, 但峰值信噪比高于TV模型。

4 结论

本文通过分析基于二阶偏微分方程的TV去噪模型的基本原理, 针对TV去噪模型容易产生阶梯效应, 对TV模型的正则化项进行修改, 加入图像的结构信息, 改进后的TV模型抑制平滑区域噪声的扩散, 克服了阶梯效应的产生。仿真实验中, 将本文算法与TV模型、四阶微偏微分的You-Kaveh模型进行对比分析, 进一步表明, 本文所提出的加入图像结构信息的TV去噪模型, 不仅在较短的时间内有效地去除了噪声, 而且有效克服了伪边缘的产生, 去噪后图像的主观视觉质量最优。

摘要：分析了基于二阶偏微分的扩散方程模型的基本原理, 针对该模型在去噪的同时会产生阶梯效应的缺点, 提出了一种基于图像结构信息的二阶偏微分去噪模型。在该模型中, 在二阶偏微分的全变分模型的正则化项加入图像的切矢量和法矢量信息, 并由此推导出相应的扩散方程, 再对扩散方程的扩散强度因子进行修改。在实验中, 将模型分别与基于二阶偏微分、四阶偏微分的全变分模型进行对比分析表明, 实验结果证明该模型能有效地去除图像噪声, 克服阶梯效应的产生, 主观性能最优。

关键词：图像去噪,全变分模型,阶梯效应,图像结构

参考文献

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偏微分应用篇9

由于获取和传输过程往往会对图像引入噪声,使得图像的视觉效果受到严重的影响,对图像后继处理和分析带来很大不便。图像平滑作为图像的预处理过程,平滑质量的好坏直接影响到后继处理和分析的结果。传统的图像平滑算法有均值滤波、中值滤波和高斯滤波等,这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征,如边缘、纹理等。

基于偏微分方程(PDE)的图像处理方法已经在图像处理领域得到了广泛应用。偏微分方程方法与通常的图像处理算法相比,虽然计算量较大,耗时较长,但由于其灵活的拓扑学结构、广阔的应用领域逐渐受到人们的重视。

图像平滑作为图像处理重要的环节,基于偏微分方程的图像平滑方法得到了迅速的发展。本文在介绍经典的基于偏微分方程的图像平滑方法基础上,详细分析各种模型的优缺点,以便为图像平滑方法的改进提供一些启示。

2 整体变分(TV)平滑模型[1,2]

在基于偏微分方程方法的平滑模型中,整体变分(TV,Total Variation)模型表现出色。设Ω是Rn中的有界开子集,μ为局部可积函数,其整体变分定义为

有界变差函数空间可定义为

设μ0为观测到的图像,于是μ0=μ+n,则:

定义图像的能量函数:

其中λ为拉格朗日乘数。

由变分法知识,能量泛函取得极小值得必要条件是满足Euler-Lagrange方程,即

由梯度下降法,则得到TV平滑模型:

对|▽μ|进行正则化,可得到正则化模型:

由有限差分法得到离散格式:

3 四阶偏微分方程平滑模型

TV模型的偏微分方程是一个二阶微分方程,为了解决二阶偏微分方程处理时对图像分块产生的阶梯效应,可以采用四阶偏微分方程。

定义图像的正则能量为:

由变分法知识,得欧拉公式为:

则梯度下降模型为:

定义g(s)=f'(s)/s并规定:

则(10)可化为:

其离散过程为:

1)计算u的二阶差分:

2)计算函数g:

3)计算函数g的二阶差分:

4)离散格式为:

4 基于各向异性扩散方程的图像平滑

4.1 P-M模型

为了达到去噪同时保护边缘,可以采用扩散过程中的传导系数依赖于图像的局部特征。具体来说,在图像比较平坦的区域,传导系数能自动增大。这可使平坦区域中较小的起伏被平滑;而在图像的边缘附近,传导系数能自动减小,可使边缘几乎不受影响。Perona和Malik于1990年在热传导方程的基础上得到了以下的各向异性扩散模型:

其中,g(|▽μ|)规定了扩散程度。

若g(0)=1当s->∞时g(s)->0。在平滑过程中,在边缘处|▽μ|很大,g(s)很小,扩散程度变小;在平坦区域|▽μ|很小,g(s)很大,扩散程度变大。因此在进行平滑时,边缘处平滑的少,而在平坦的区域平滑的。

可取:

利用有限差分法对(16)进行离散可得离散格式为

4.2 正则化P-M模型

Catte等人指出P-M方法是“病态”的,输入的微小变化会导致输出完全改变;Whitaker证明P-M方法处理所得的图像受“阶梯”效应干扰,视觉效果差。

对P-M模型加以修改,得到以下正则化P-M模型

可以证明该模型为完全适定问题,并具有以下性质:1)存在唯一的连续依赖初值μ0(x,y)的解;2)服从极值原理;3)具有灰度不变性;4)收敛于常数稳态解,即:μ(x,y,t)->μ(t->∞);5)具有Lyapunov泛函递减性。

5 实验结果及模型比较分析

5.1 实验结果

图1(a)-(e)分别表示原始图像、加入高斯噪声图像、TV模型平滑后图像、四阶模型平滑后图像及正则化P-M模型(Catte模型)平滑后图像。

5.2 模型比较分析

经理论分析和实验结果可以看出:

1)由于TV滤波器在去除噪声时并不会把图像模糊或者边缘扭曲。TV平滑模型会出现噪声抑制不充分,甚至出现虚假边缘,产生阶梯效应.TV平滑模型属于二阶PDE模型。

2)TV平滑模型把图像变成几个灰度值不同的色块,四阶PDE模型是将它平滑成一个灰度渐变的区域,这块区域内梯度恒定,虽然和真实图像的灰度变化不一定相同但它一般不会产生额外的边缘,与二阶PDE的结果相比四阶PDE具有更好的视觉效果。因此可以考虑用更高阶的PDE来逼近真实的灰度变化。

3)P-M模型是“病态”模型,即输入的微小变化会导致输出完全改变,去噪后图像受“阶梯”效应干扰,视觉效果差。Catte经修正改进后模型为适定问题,平滑后图像视觉效果明显改善。

摘要：近年来,基于偏微分方程的图像平滑技术受到越来越多的关注。该文详细介绍了几种基于偏微分方程的图像平滑方法,进而根据理论分析和实验结果对几种方法进行比较。

关键词：偏微分方程,图像平滑,比较研究

参考文献

[1]王大凯.图像处理的偏微分方程方法[M].北京:科学出版社,2008.

[2]吴斌.基于变分偏微分方程的图像复原技术[M].北京:北京大学出版社,2008.

[3]贾迪野,黄凤岗,文小芳.基于四阶偏微分方程平滑的图像分割新方法[J].计算机应用,2004,24(9):19-21.

[4]Perona P,Malik J.Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1990,12(7):629-639.

偏微分应用篇10

科学计算的主要问题是求解偏微分方程。随着计算机计算能力的加强和工程界要求更大的计算规模、更高的计算精度,如何在大规模的并行机上高效地求解偏微分方程,当计算的问题增大时,如何能稳定的计算下去,已成为数值算法研究的热点问题[1,2]。1973年,Stone提出了三对角系统线性方程组求解的一组有效的并行算法,1976年,Bunch和Rose介绍了预处理共轭斜量法(PCG法),近年来,又先后提出了一系列针对多处理机系统的同步和异步并行算法,如并行波前法、Givens变换方法、镜像影射法、逐次混乱松弛法等[3,4]。

1 偏微分方程的离散

对于偏微分方程的离散求解,差分格式是最常用的离散方法,并行差分格式的研究主要是采用区域分解的方法将计算区域分裂成若干块,然后对每一块采用一个人工的边界条件进行计算。构造并行差分格式时需要考虑以下3个因素:差分格式的稳定性、精度及在分布式并行计算机上执行时所需要的通信量。

考虑满足边界条件的偏微分方程:

${\begin{cases} C_{x} u_{x x} + C_{y} u_{y y} + (C_{1} \sin 2 π x + C_{2}) u_{x} + \\ (D_{1} \sin 2 π y + D_{2}) u_{y} + E u = 0, \\ u |_{x = 0} = u |_{x = 1} = F + \cos π y, \\ u |_{y = 0} = u |_{y = 1} = F + \cos π x \end{cases} (1)$

式中:0≤x,y≤1。特别地,为了计算方便,不妨取Cx=Cy=C1=D1=E=1,C2=D2=0,F=10,利用有限差分法将式(1)进行离散,其中uxx,uyy采用二阶中心差商,ux,uy采用向前差商,步长为h=1/51,离散后差分格式为:

(1+hsin 2πih)ui+1,j-(4+hsin 2πih+sin 2πjh-h2)ui,j+ui-1,j+(1+hsin 2πjh)ui,j+1+ui,j-1=0,i,j=1,2,…,50。

算法1:并行差分格式

第1步,用界面点将整个区域分解成许多个子区域;第2步,在界面上用上述格式计算界面的值;第3步,每个子区域用界面值作为Dirichlet边界条件,计算子区域上的问题;第4步,计算下一个时间层。由于边界网格点的值已知,所以只需求解区域内部网格点处的值。下面对内部离散的网格点进行编号,编号规则为:按照从左至右、从下至上的顺序,节点号依次从1～2 500。

组装成线性方程组Ax=b,其中:

$A = [\begin{matrix} B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ A_{49} & B_{49} & C_{49} \\ A_{50} & B_{50} \end{matrix}]_{2 500 \times 2 500} ‚ b = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{49} \\ b_{50} \end{matrix}]_{2 500 \times 1}$

且Ai,Ci分别为50×50阶对角阵;Bi为50×50阶三对角阵,bi为50×1阶矩阵,i=1,2,…,50。

2 多分裂迭代并行算法

2.1 多分裂迭代法

并行多分裂迭代法是由O′Leary和White于1985年基于矩阵多分裂提出的。其后许多国内外学者对此类方法进行了深入的研究,使其方法得到了长足的发展,如Bai,Bru等,Frommer等[3]。

求解大型线性方程组Ax=b,其中A是N×N非奇异矩阵。令Ml,Nl和El都是N×N矩阵,l=1,2,…,α,若满足:①A=Ml-Nl,M $_{l}^{- 1}$ 存在; $② \sum_{l = 1}^{α} E_{l} = Ι (Ι$ 为N×N单位矩阵),El是非负对角矩阵,则称三元组(Ml,Nl,El)为A的一个多分裂。多分裂迭代格式为:x(k+1)=Hx(k)+Gb,k=0,1,2,…;其中H称为多分裂迭代法的迭代矩阵;

算法2:多分裂迭代并行算法

第1步,任取初始近似x(0)∈RN,对k=0,1,2,…;第2步,对l=1,2,…,α,求解yl,Mlyl=Nlx(k)+b;第3步,算 $x^{(k + 1)} = \sum_{l = 1}^{α} E_{l} y_{l}$ ;第4步,判断是否收敛。若收敛,则停止,否则转第2步。

2.2 多分裂迭代法并行性及通信分析

显然算法2有自然的并行性。由于在算法2中yl的计算是相互独立的,因此若有一台具有一个主机与p个处理机的并行机,则法2可这样并行实现:每台处理机处理一个局部迭代,并将局部迭代值yl送到主机,然后主机对yl(l=1,2,…,p)进行加权平均而得到整体迭代值x(k+1),最后将x(k+1)送回各处理机以开始下一步的局部迭代由于方程(1)离散后转化成为线性方程组的求解,而方程组的矩阵规模较大,计算量主要是由矩阵向量积的计算量控制,在并行机上实现时,注意到如果El的某个对角元素为零,则yl的相应分量无需计算,从而大大节省工作量。因此,应尽量选择El,使得各处理机间大致做到负载平衡,从而减少同步等待的开销。

3 相关结论

众所周知,并行算法的最根本目的是缩短计算机的解题时间和提高机器各处理单元的使用率。并行算法的效率定义为:EP=SP/P,其中P为处理机台数,SP为并行算法的加速比,SP=T1/TP。其中:T1为串行算法在单处理机上的执行时间;TP为并行算法在具有P台处理机的系统上的执行时间。下面将用3种并行迭代解法来求解方程式(1),并分析3种并行算法的加速比、并行效率及可扩展性等。

3.1 多分裂迭代并行算法求解结果

设迭代过程中收敛误差Epsilon=1.0×10-10,多分裂迭代并行算法求解偏微分方程计算结果如表1,偏微分方程式(1)用差分法求解数值模拟如图1所示。

从可扩展性来说,多分裂方法更有利于实现并行,即当问题的规模增大时计算时间递减、加速比呈递增趋势,这对求解大规模的线性方程组具有更好的适用性。

3.2 三种并行算法求解结果比较

利用红-黑排序法、共轭梯度法和多分裂迭代法求解方程式(1),3种方法加速比、并行效率如图2所示。

图2表明,利用共轭梯度求解时,要求系数矩阵A是对称正定的,而方程(1)在实际计算中,系数矩阵A并非对称正定,只是近似认为满足采用共轭梯度法的条件,最终影响问题数值解的精度。CG方法虽然对存储量要求较少,迭代次数较少,;但同时也存在一些缺陷:当并行机数目增加时,迭代过程中通信开销较大,使得并行系统的性能与其规模不能成线性比例增长;各个处理器间负载没有达到平衡,程序设计中0进程的任务过重,加速比却越来越小,CG方法并行效率低,可扩展性较差;红黑排序迭代次数居于其他方法中间,但在计算时不仅耗时,而且其加速比在并行机数目增加时呈现递减趋势,可扩展性较差。而多分裂迭代法随问题的规模增大时计算时间递减、加速比呈递增趋势,具有很好的扩展性。

参考文献

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[2]常保柱.线性方程组及抛物型方程的几种并行解法[D].长春:吉林大学,2006.

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